Αντισυμμετρική σχέση
Στην θεωρία συνόλων, μία αντισυμμετρική σχέση είναι μία σχέση στο σύνολο , για την οποία ισχύει ότι
- για κάθε , αν και τότε ,
ή ισοδύναμα
Το πιο σύνηθες παράδειγμα τέτοιας σχέσης είναι η διάταξη , για παράδειγμα στους φυσικούς αριθμούς για την οποία δεν μπορούμε να έχουμε ότι και εκτός αν .
Παραδείγματα Επεξεργασία
Οι εξής σχέσεις είναι αντισυμμετρικές:
- Η διάταξη των φυσικών αριθμών (και των πραγματικών αριθμών).
- Η διάταξη των φυσικών αριθμών (και των πραγματικών αριθμών).
- Η σχέση του «είναι απόγονος του/της» μεταξύ ανθρώπων είναι αντισυμμετρική, καθώς δεν μπορούμε να έχουμε ότι ο Γιώργος είναι απόγονος της Άννας, και ότι η Άννα είναι απόγονος του Γιώργου.
- Αντίστοιχα και με τις σχέσεις «είναι γονιός του/της», «είναι προϋστάμενος/η του/της», κ.ο.κ.
- Η σχέση «διαιρεί» στους θετικούς αριθμούς είναι αντισυμμετρική καθώς για δεν μπορεί να έχουμε και αλλά και .
- Η σχέση
- ,
- είναι αντισυμμετρική (δείτε το πρώτο σχήμα).
- Η ταυτοτική σχέση είναι αντισυμμετρική.
Οι εξής σχέσεις δεν είναι αντισυμμετρικές:
- Η σχέση του «είναι συγχωριανός/ή του», «είναι συμφοιτητής/τρια του/της».
- Η σχέση
- ,
- δεν είναι αντισυμμετρική (δείτε το δεύτερο σχήμα).
Πλήθος αντισυμμετρικών σχέσεων Επεξεργασία
Σε ένα πεπερασμένο σύνολο αποτελούμενο από στοιχεία, υπάρχουν το πολύ
σχέσεις που είναι αντισυμμετρικές. Τα πλήθη δίνονται από την ακολουθία:
Απόδειξη |
Κάθε ένα από τα στοιχεία της διαγωνίου μπορεί να είναι είτε είτε ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα. Το στοιχεία στην θέση εξαρτάται μόνο από το στοιχείο . Για αυτά, λόγω του περιορισμού της αντισυμμετρικής σχέσης, είτε πρέπει να είναι και τα δύο , είτε το ένα και το άλλο . Συνεπώς, υπάρχουν τρεις διαφορετικές περιπτώσεις. Υπάρχουν στοιχεία στην διαγώνιο και από τα ζεύγη σχέσεων . Από την βασική αρχή απαρίθμησης προκύπτει ότι συνολικά υπάρχουν
διμελής σχέσεις που είναι αντισυμμετρικές. |
Δείτε επίσης Επεξεργασία
Παραπομπές Επεξεργασία
- ↑ Γιώργος Βούρος (27 Οκτωβρίου 2005). «Διακριτά Μαθηματικά: Σχέσεις και ιδιότητες» (PDF). Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 30 Απριλίου 2024.
- ↑ Φωτάκης, Δ.· Σούλιου, Δ. «Σχέσεις» (PDF). Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2024.