Αρνητική διωνυμική κατανομή

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας $p$ μέχρι να έχουμε $r$ επιτυχίες.

Συνάρτηση μάζας πιθανότητας για την αρνητική διωνυμική κατανομή με $r=2,4,6$ και $p=0.35$.

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής για την αρνητική διωνυμική κατανομή με $r=2,4,6$ και $p=0.35$.

Αρνητική Διωνυμική Κατανομή

Συμβολισμός	${\mathsf {NB}}(r,p)$
Παράμετροι	$r\in \mathbb {N}$ (πλήθος επιτυχιών), $p\in [0,1]$ (πιθανότητα επιτυχίας)
Φορέας	$k\in \{0,1,2,\ldots \}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	${\binom {r+k-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}$
Μέσος	$r\cdot {\frac {1-p}{p}}$
Διάμεσος	$\lfloor n\cdot p\rfloor$ ή $\lceil n\cdot p\rceil$
Διακύμανση	$r\cdot {\frac {1-p}{p^{2}}}$
Λοξότητα	${\frac {1+p}{\sqrt {pr}}}$
Κύρτωση	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{(1-p)\cdot r}}-3$
Πιθανογεννήτρια	$\left({\frac {p}{1-(1-p)t}}\right)^{r}$ για $|t|<1/p$
Χαρακτηριστική	$\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}$ για $t<-\log p$

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή $X$ που εκφράζει τον αριθμό των αποτυχιών. Συνολικά επαναλαμβάνουμε το πείραμα $r+k$ φορές, από τις οποίες η τελευταία είναι επιτυχία. Η πιθανότητα έως ότου να έχουμε $r\in \mathbb {N}$ επιτυχίες να έχουμε $k\in \mathbb {N}$ αποτυχίες σε ανεξάρτητα πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας $p\in (0,1)$ κάθε φορά είναι:

$\operatorname {P} (X=k)={\binom {r+k-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}$.

Ορισμός

Ως άθροισμα γεωμετρικών κατανομών

Έστω $X_{1},\ldots ,X_{k}$ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε $X_{i}+1$ ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή ${\mathsf {Geom}}(p)$. Τότε, αφού η γεωμετρική κατανομή μετράει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα πείραμα μέχρι μία επιτυχία, έχουμε ότι

$X_{1}+\ldots +X_{r}\sim {\mathsf {NB}}(r,p).$

Μέση τιμή

Η μέση τιμή προκύπτει από τον ορισμό ως το άθροισμα $r$ τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή:

$\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{r}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{r}\operatorname {E} [X_{i}]=r\cdot \left({\frac {1}{p}}-1\right)=r\cdot {\frac {1-p}{p}},$

χρησιμοποιώντας ότι $\operatorname {E} [X_{i}+1]={\frac {1}{p}}$.

Διακύμανση

Αντίστοιχα, από τον ορισμό της διακύμανσης και αφού $X_{1},\ldots ,X_{k}$ είναι ανεξάρτητες, έχουμε ότι:

$\operatorname {V} [X]=\operatorname {V} \left[\sum _{i=1}^{r}X_{i}\right]=r\cdot \operatorname {V} [X_{1}]=r\cdot {\frac {1-p}{p^{2}}}$.

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

Χρησιμοποιώντας ότι ${\textstyle X=\sum _{i=1}^{r}X_{i}}$, για $X_{i}+1$ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:

$\operatorname {E} [t^{X}]=\operatorname {E} [t^{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}]=\prod _{i=1}^{r}\operatorname {E} [t^{X_{i}}]=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r},$

αφού $\operatorname {E} [t^{X_{i}-1}]={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)t}}$ για $|t|<1/p$ από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.

Χαρακτηριστική συνάρτηση

Χρησιμοποιώντας ότι ${\textstyle X=\sum _{i=1}^{r}X_{i}}$, για $X_{i}+1$ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:

$\operatorname {E} [e^{tX}]=\operatorname {E} [e^{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}]=\prod _{i=1}^{r}\operatorname {E} [e^{tX_{i}}]=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r},$

αφού $\operatorname {E} [e^{t(X_{i}-1)}]={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}$ για $t<-\log p$ από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.

Δείτε επίσης

• Γεωμετρική κατανομή
• Διωνυμική κατανομή