Βαθμός πολυωνύμου

Στην άλγεβρα, ο βαθμός ενός πολυωνύμου είναι το μέγιστο $n$ για το οποίο υπάρχει όρος $cx^{n}$ με $c\neq 0$. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο

$p(x)=3x^{5}-2x^{2}+10$

έχει βαθμό $5$.

Ο βαθμός ενός πολυωνύμου $p$ συνήθως συμβολίζεται με $\operatorname {deg} (p)$.

Παραδείγματα

• Το πολυώνυμο $p_{1}(x)=2x^{3}+5$ έχει $\operatorname {deg} (p_{1})=3$.
• Το πολυώνυμο $p_{2}(x)=8x^{6}+3x^{2}+10$ έχει $\operatorname {deg} (p_{2})=6$.
• Το πολυώνυμο $p_{3}(x)=(x-2)^{6}\cdot (8x^{3}+10)\cdot x^{2}$ έχει $\operatorname {deg} (p_{3})=6+3+2$ (δείτε τις ιδιότητες παρακάτω).

Ιδιότητες

• Ο βαθμός του αθροίσματος δύο πολυωνύμων $p(x)$ και $q(x)$ ικανοποιεί

$0\leq \operatorname {deg} (p+q)\leq \max(\operatorname {deg} (p),\operatorname {deg} (q))$.

Απόδειξη  

Έστω

$p_{1}(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}$ και $p_{2}(x)=\sum _{I=1}^{m}b_{i}x^{i}$,

όπου $n=\operatorname {deg} (p_{1})$ και $m=\operatorname {deg} (p_{2})$. Τότε, το άθροισμα γράφεται ως

$p_{1}(x)+p_{2}(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=1}^{m}b_{i}x^{i}=\sum _{I=1}^{\max(n,m)}(a_{i}+b_{i})x^{i}$.

Επομένως ο βαθμός του πολυωνύμου είναι το πολύ $\max(n,m)$.

• Ο βαθμός του γινομένου δύο πολυωνύμων $p(x)$ και $q(x)$ είναι

$\operatorname {deg} (p\cdot q)=\operatorname {deg} (p)+\operatorname {deg} (q)$.

Απόδειξη  

Έστω

$p_{1}(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}$ και $p_{2}(x)=\sum _{i=1}^{m}b_{i}x^{i}$,

όπου $n=\operatorname {deg} (p_{1})$ και $m=\operatorname {deg} (p_{2})$. Τότε, το γινόμενο γράφεται ως

$p_{1}(x)\cdot p_{2}(x)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{m}b_{i}x^{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{i}b_{j}x^{i+j}$.

Επομένως ο βαθμός του πολυωνύμου είναι $n\cdot m$.

• Ο βαθμός της σύνθεσης δύο πολυωνύμων $p(x)$ και $q(x)$ είναι

$\operatorname {deg} (p\circ q)=\operatorname {deg} (p)\cdot \operatorname {deg} (q)$.

Απόδειξη  

Έστω

$p_{1}(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}$ και $p_{2}(x)=\sum _{i=1}^{m}b_{i}x^{i}$,

όπου $n=\operatorname {deg} (p_{1})$ και $m=\operatorname {deg} (p_{2})$. Τότε, η σύνθεση γράφεται ως

$(p_{1}\circ p_{2})(x)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\left(\sum _{i=j}^{m}b_{i}x^{j}\right)^{i}\right)$.

Επομένως ο βαθμός του πολυωνύμου είναι $n\cdot m$, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

Ονομασίες

Ανάλογα με τον βαθμό που έχουν τα πολυώνυμα, παίρνουν και αντίστοιχες ονομασίες:

• Μηδέν βαθμού: το μηδενικό πολυώνυμο
• Πρώτου βαθμού: πρωτοβάθμιο
• Δευτέρου βαθμού: δευτεροβάθμιο
• κ.ο.κ.

Δείτε επίσης

• Πολυώνυμο