Διχοτόμος γωνίας

Στην γεωμετρία, η διχοτόμος ευθεία ή απλά διχοτόμος μιας γωνίας στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές και βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας.

Η διχοτόμος ως γεωμετρικός τόπος

Θεώρημα: Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των εσωτερικών σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Απόδειξη: Έστω $\mathrm {O\delta }$ η διχοτόμος της γωνίας $\mathrm {xOy}$ και $\mathrm {\Sigma }$ σημείο της $\mathrm {O\delta }$. Φέρνουμε τις κάθετες $\mathrm {\Sigma A}$ στην $\mathrm {Ox}$ και $\mathrm {\Sigma B}$ στην $\mathrm {Oy}$. Θέλουμε να δείξουμε ότι οι αποστάσεις $\mathrm {\Sigma A}$ και $\mathrm {\Sigma B}$ είναι ίσες. Τα τρίγωνα $\mathrm {A\Sigma O}$ και $\mathrm {B\Sigma O}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσα. Συνεπώς $\mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B}$.

Αντίστροφα, έστω $\mathrm {xOy}$ η γωνία και $\mathrm {\Sigma }$ εσωτερικό της σημείο τέτοιο ώστε να ισαπέχει από τις $\mathrm {Ox}$ και $\mathrm {Oy}$, δηλαδή $\mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B}$. Τότε τα τρίγωνα $\mathrm {A\Sigma O}$ και $\mathrm {B\Sigma O}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και ίση κάθετη πλευρά. Συνεπώς, $\angle \mathrm {AO\Sigma } =\angle \mathrm {BO\Sigma }$. $\square$

Εσωτερικές διχοτόμοι τριγώνου

Εσωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta }$ της κορυφής $\mathrm {A}$ στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$.

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας $\angle \mathrm {BA\Gamma }$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm {A\Delta }$ που διχοτομεί την $\angle \mathrm {BA\Gamma }$ και $\mathrm {\Delta }$ είναι το σημείο της $\mathrm {B\Gamma }$. Αντίστοιχα ορίζονται οι διχοτόμοι των κορυφών $\mathrm {B}$ και $\mathrm {\Gamma }$. Οι διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με $\delta _{\rm {A}},\delta _{\rm {B}},\delta _{\rm {\Gamma }}$ ή $\delta _{\alpha },\delta _{\beta },\delta _{\gamma }$ αντίστοιχα.

Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου

Το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η διχοτόμος $\mathrm {A\Delta }$ ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά $\mathrm {B\Gamma }$ σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών, δηλαδή,

${\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.$

Έγκεντρο τριγώνου

Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Μήκος διχοτόμου

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:

$\delta _{\rm {A}}^{2}=\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)$, $\quad \delta _{\rm {B}}^{2}=\gamma \alpha \cdot \left(1-{\frac {\beta ^{2}}{(\gamma +\alpha )^{2}}}\right)\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}^{2}=\alpha \beta \cdot \left(1-{\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right)$.

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής:

$\delta _{\rm {A}}={\frac {2\beta \gamma }{\beta +\gamma }}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}},$ $\quad \delta _{\rm {B}}={\frac {2\gamma \alpha }{\gamma +\alpha }}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {2\alpha \beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}$,

και επίσης

$\delta _{\rm {A}}={\frac {\alpha \cdot \sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}\cdot \cos {\frac {\rm {B-\Gamma }}{2}}}}$, $\quad \delta _{\rm {B}}={\frac {\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma -A}}{2}}}}\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {\gamma \cdot \sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \cos {\frac {\rm {A-B}}{2}}}}$.

Ανισοτική σχέση

Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma }$ ισχύει ότι $\delta _{\rm {\Gamma }}<\delta _{\rm {B}}$, και αντίστροφα.

Εξωτερικές διχοτόμοι τριγώνου

Η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta '}$ της κορυφής $\mathrm {A}$

Ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το σχήμα στο πλάι δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχούν στην κορυφή $\mathrm {A}$. Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με $\delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}',\delta _{\rm {\Gamma }}'$ ή $\delta _{\alpha }',\delta _{\beta }',\delta _{\gamma }'$ αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος $\delta _{\rm {A}}'$ είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο $\delta _{\rm {A}}$.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta '}$ ενός τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma }$ ικανοποιεί

${\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.$

Παράκεντρα τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ οι εξωτερικές διχοτόμοι $\delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}'$ και η εσωτερική διχοτόμος $\delta _{\rm {\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Ονομάζεται το παράκεντρο $\mathrm {J} _{\mathrm {\Gamma } }$ του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται παρεγγεγραμμένος. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα ${\rm {J_{B}}}$ και ${\rm {J_{\Gamma }}}$.

Το παράκεντρο $\mathrm {J} _{\Gamma }$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$.

Μήκος διχοτόμου

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:

$(\delta _{\rm {A}}')^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right)$, $\quad (\delta _{\rm {B}}')^{2}=\gamma \alpha \cdot \left({\frac {\beta ^{2}}{(\gamma -\alpha )^{2}}}-1\right)\quad$ και $(\delta _{\rm {\Gamma }}')^{2}=\alpha \beta \cdot \left({\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha -\beta )^{2}}}-1\right)$.

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις

$\delta _{\rm {A}}'={\frac {2\beta \gamma }{|\beta -\gamma |}}\cdot \sin {\frac {\rm {A}}{2}}$, $\quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {2\gamma \alpha }{|\gamma -\alpha |}}\cdot \sin {\frac {\rm {B}}{2}}\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {2\alpha \beta }{|\alpha -\beta |}}\cdot \sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}$.

και επίσης

$\delta _{\rm {A}}'={\frac {\alpha \cdot \sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}\cdot \sin {\frac {\rm {B-\Gamma }}{2}}}}$, $\quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}\cdot \sin {\frac {\rm {\Gamma -A}}{2}}}}\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {\gamma \cdot \sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\frac {\rm {A-B}}{2}}}}$.

Γεωμετρική κατασκευή

Κατασκευή διχοτόμου με κανόνα και διαβήτη

Η διχοτόμος μίας γωνίας μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

1. Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής $\mathrm {O}$ των δύο πλευρών της γωνίας.
2. Θεωρούμε $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας.
3. Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το $\mathrm {O}$.
4. Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις:

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad {\text{ και }}\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0.$

Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις

${\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}={\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}},$

και

${\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}=-{\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}.$

Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Ν. Μαρκάκης (1982). «Παραλληλία και καθετότητα στη διχοτόμο». Ευκλείδης Β΄ (3): 160-164. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3135. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Constantia, Mary (1964). «Dr. Hopkins' proof of the angle bisector problem». The Mathematics Teacher 57 (8): 539-541. https://www.jstor.org/stable/27957138. 
• Touval, Ayana (2011). «Teaching the Perpendicular Bisector: A Kinesthetic Approach». The Mathematics Teacher 105 (4): 269-273. doi:10.5951/mathteacher.105.4.0269. https://www.jstor.org/stable/10.5951/mathteacher.105.4.0269. 
• Smith, T. Knape (Φεβρουαρίου 1969). «184. Angle bisector theorems». The Mathematical Gazette 53 (383): 58–59. doi:10.2307/3613462. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1969-02_53_383/page/58. 
• Abu-Saymeh, Sadi; Al-Momani, Yaqeen; Hajja, Mowaffaq; Hayajneh, Mostafa (Νοεμβρίου 2021). «Long medians and long angle bisectors». The Mathematical Gazette 105 (564): 397–409. doi:10.1017/mag.2021.106. 
• Mironescu, Petru; Panaitopol, Laurentiu (Ιανουαρίου 1994). «The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths». The American Mathematical Monthly 101 (1): 58–60. doi:10.1080/00029890.1994.11996906. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1994-01_101_1/page/58. 

Δείτε επίσης

• Γωνία
• Τρίγωνο
• Θεώρημα διχοτόμου
• Έγκεντρο τριγώνου
• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Ύψος τριγώνου