Εικοσιδωδεκάεδρο

Στη στερεομετρία, το εικοσιδωδεκάεδρο είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 32 έδρες: 20 ισόπλευρα τρίγωνα και 12 κανονικά πεντάγωνα. Έχει 30 κορυφές και 60 ακμές.

Εικοσιδωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
Τύπος	Στερεό του Αρχιμήδη
Έδρες	32 20 τρίγωνα 12 πεντάγωνα
Ακμές	60
Κορυφές	30
Διαμόρφωση κορυφής	(3.5.3.5)
Ομάδα συμμετρίας	εικοσαεδρική (Ih)
Δυϊκό	Ρομβικό τριακοντάεδρο
Ανάπτυγμα

Η διαμόρφωση κορυφής του είναι (3.5.3.5), δηλαδή σε κάθε κορυφή του ενώνονται εναλλάξ δύο τρίγωνα και δύο πεντάγωνα. Όλες οι ακμές σχηματίζουν έναν σκελετό έξι κανονικών δεκαγώνων, που τέμνονται ανά δύο στις κορυφές του πολυέδρου.

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά εικοσιδωδεκάεδρου

Αν θεωρήσουμε $\alpha \,\!$ το μήκος της ακμής του στερεού, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο)	$R=\phi \alpha \approx 1,618\alpha$
Απόσταση ακμών από το κέντρο	$\rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\alpha \approx 1,539\alpha$
Απόσταση τριγωνικών εδρών από το κέντρο	$r_{3}={\sqrt {{\frac {1}{6}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)}}\alpha \approx 1,512\alpha$
Απόσταση πενταγωνικών εδρών από το κέντρο	$r_{5}={\sqrt {{\frac {1}{5}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\alpha \approx 1,376\alpha$
Συνολική επιφάνεια	$S=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)\alpha ^{2}\approx 29,306\alpha ^{2}$
Όγκος	$V={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)\alpha ^{3}\approx 13,834\alpha ^{3}$

όπου $\phi \,\!$ ο χρυσός αριθμός.

Η δίεδρη γωνία, μεταξύ τριγωνικών και πενταγωνικών εδρών, είναι ίση με 142,62°.

Κατασκευαστικά, το εικοσιδωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει από το δωδεκάεδρο, εάν αποκοπούν όλες οι κορυφές του έως τα μέσα των ακμών του. Έτσι, οι πενταγωνικές έδρες του αρχικού δωδεκαέδρου μετατρέπονται σε μικρότερα πεντάγωνα, ενώ οι 20 αποκομμένες κορυφές του σχηματίζουν τρίγωνα. Με την ίδια μέθοδο, το εικοσιδωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει και από το δυϊκό του δωδεκαέδρου, το εικοσάεδρο.

Δωδεκάεδρο

Κόλουρο δωδεκάεδρο

Εικοσιδωδεκάεδρο

Κόλουρο εικοσάεδρο

Εικοσάεδρο

Πηγές

• Weisstein, Eric W., Icosidodecahedron, MathWorld. (Αγγλικά)