Θεώρημα Νάγκελ

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Νάγκελ (αναφέρεται συχνά ως θεώρημα Nagel) λέει ότι σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ όπου $\mathrm {AH_{A}}$, $\mathrm {BH_{B}}$ και $\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ τα ύψη του τριγώνου, και $\mathrm {O}$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι

Το θεώρημα Νάγκελ για το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$.

$\mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma }$, $\quad \mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} \quad$ και $\quad \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OB}$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Κρίστιαν Χάινριχ φον Νάγκελ.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης θεωρήματος Νάγκελ.

Θεωρούμε $\mathrm {BH_{B}}$ και $\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ τα δύο ύψη του τριγώνου. Θα αποδείξουμε ότι $\mathrm {OA} \perp \mathrm {H_{B}H_{\Gamma }}$.

Θεωρούμε την εφαπτομένη $\mathrm {xA}$ στον κύκλο $(\mathrm {O} ,\mathrm {A} )$ και επομένως, $\mathrm {OA} \perp \mathrm {xA}$ και $\angle \mathrm {xAB} ={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$. Επίσης $\mathrm {H_{B}H_{\Gamma }B\Gamma }$ είναι εγγράψιμο (καθώς $\angle \mathrm {BH_{B}\Gamma } =\angle \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }B} =90^{o}$). Συνεπώς, η $\mathrm {\Gamma }$ είναι παραπληρωματική της $\mathrm {BH_{\Gamma }H_{B}}$ και έτσι $\mathrm {H_{B}H_{\Gamma }A} ={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$. Επομένως, η $\mathrm {H_{B}H_{\Gamma }}$ είναι παράλληλη της $\mathrm {xA}$ και έτσι $\mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA}$.

Δείτε επίσης

• Ύψος τριγώνου
• Περιγεγραμμένος κύκλος