Καθολική σχέση

Στην θεωρία συνόλων, η καθολική σχέση μεταξύ των συνόλων $X$ και $Y$ είναι η σχέση που συσχετίζει όλα τα στοιχεία του $X$ με όλα τα στοιχεία του $Y$, δηλαδή

Η καθολική σχέση από το σύνολο $X=\{1,2,3,4\}$ στο σύνολο $Y=\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$.

$U=X\times Y=\{(x,y):x\in X\wedge y\in Y\}$,

και είναι ίση με το καρτεσιανό γινόμενο των δύο συνόλων.

Παραδείγματα

Η καθολική σχέση στο σύνολο $X=\{1,2,3,4\}$.

• Για τα σύνολα $X=\{1,2,3,4\}$ και $Y=\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$, η καθολική σχέση είναι η εξής:

$U=\{(1,\alpha ),(1,\beta ),(1,\gamma ),(2,\alpha ),(2,\beta ),(2,\gamma ),(3,\alpha ),(3,\beta ),(3,\gamma )\}$.

• Για το σύνολο $X=\{1,2,3,4\}$, η καθολική σχέση από το $X$ στο $X$ είναι η σχέση

$U=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\}$.

Ιδιότητες

• Κάθε σχέση $R$ από το σύνολο $X$ στο σύνολο $Y$ είναι υποσύνολο της καθολικής σχέσης.
• Η καθολική σχέση $X\times X$ είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική, δηλαδή είναι μία σχέση ισοδυναμίας.
• Η καθολική σχέση $X\times X$ είναι αδρότερη σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο $X$.
• Αν τα σύνολα $X$ και $Y$ είναι πεπερασμένα, τότε η καθολική σχέση έχει $|X|\cdot |Y|$ στοιχεία.

Δείτε επίσης

• Καρτεσιανό γινόμενο
• Ταυτοτική σχέση