Κλιμακωτή μορφή

Στην γραμμική άλγεβρα ένας πίνακας είναι σε κλιμακωτή μορφή αν:

1. Οι μη μηδενικές γραμμές του προηγούνται των μηδενικών γραμμών του.
2. το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο (ηγετικό στοιχείο) κάθε γραμμής είναι σε δεξιότερη θέση από το αντίστοιχο μη μηδενικό στοιχείο της προηγούμενης γραμμής.

Επιπλέον λέμε ότι είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή αν εκτός από αυτά ισχύουν τα εξής:

1. Το ηγετικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι το 1.
2. Κάθε στήλη που περιέχει το ηγετικό στοιχείο 1 μιας γραμμής έχει όλα τα υπόλοιπα μηδενικά.

Στο κάθε εξής όπου αναφέρεται κλιμακωτή μορφή εννοείται ανηγμένη.

Ένα παράδειγμα 3x3 πίνακα σε κλιμακωτή μορφή:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&b_{1}\\0&1&a_{4}&b_{2}\\0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]$

Πίνακες αυτής της μορφής συνήθως προκύπτουν από τον αλγόριθμο απαλοιφής του Gauss για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Σε πολλά βιβλία, δεν απαιτείται να ισχύει η ιδιότητα 2, αλλά μόνο οι 1 και 3. Δεν απαιτείται δηλαδή το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο να είναι ίσο με τη μονάδα. Αν όμως τα πρώτα μη μηδενικά στοιχεία κάθε γραμμής είναι ίσα με την μονάδα τότε το ισοδύναμο σύστημα που προκύπτει από τον αλγόριθμο απαλοιφής λύνεται άμεσα με "προς τα πίσω" αντικατάσταση. Αν διαγράψουμε τη συνθήκη 2, τότε και ο παρακάτω πίνακας είναι κλιμακωτός:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&b_{1}\\0&2&a_{4}&b_{2}\\0&0&-5&b_{3}\end{array}}\right]$

Στα παλαιότερα βιβλία δεν αναφέρεται κάποιο όνομα για πίνακες αυτού του είδους. Αναφέρονται απλά ως τριγωνικοί πίνακες στους οποίους καταλήγει ο αλγόριθμος απαλειφής.

Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Ένας πίνακας είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή αν είναι σε κλιμακωτή μορφή και επιπλέον κάθε καθοδηγητική μονάδα είναι το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&b_{1}\\0&1&0&b_{2}\\0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]$

Όπως αναφέρθηκε, οι κλιμακωτοί και οι ανηγμένοι κλιμακωτοί πίνακες εμφανίζονται στον αλγόριθμο απαλοιφής του Gauss που χρησιμοποιείται για την επίλυση γραμμικών συστημάτων, για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα, για την εύρεση της τάξης ενός πίνακα και αλλού. Ο αλγόριθμος απαλοιφής μπορεί να μετατρέψει κάθε πίνακα σε κλιμακωτό πίνακα μέσω στοιχειδών μετασχηματισμών.

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι

1. Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας Αρχειοθετήθηκε 2017-11-17 στο Wayback Machine., παν. Αιγαίου
2. Η μέθοδος απαλοιφής του Gauss (περιγραφή και κώδικας σε python)