Κόλουρος κώνος

Ο κόλουρος κώνος παράγεται κατά την περιστροφή ορθογωνίου τραπεζίου περί την κάθετο προς τις βάσεις του πλευρά.

Σχέση ορθού-κόλουρου κώνου

Σχέση ορθού κώνου - κόλουρου κώνου

Έστω (ορθός) κώνος (ΚΟ , ρ), ο οποίος τέμνει ένα επίπεδο κάθετο στον άξονά του στο σημείο Ο' μεταξύ Κ και Ο. Δημιουργείται έτσι ένας μικρότερος κώνος, με την ίδια κορυφή και βάση έναν κύκλο παράλληλο προς τον αρχικό, με μικρότερη ακτίνα, ο οποίος αφαιρείται από τον αρχικό κώνο. Το σχήμα που απομένει λέγεται κόλουρος κώνος και αποτελείται από το μέρος του κώνου που περιλαμβάνεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου παράλληλου σε αυτό, μεταξύ κορυφής και βάσης.

Στοιχεία

• Βάσεις: οι δυο παράλληλοι κύκλοι (μικρή και μεγάλη βάση).
• Πλευρά ή ακμή του κώνου: καλείται το μέρος μιας γενέτειρας της κωνικής επιφάνειας από την οποία προέρχεται ο κώνος, που περιορίζεται μεταξύ των δυο βάσεων.
• Ύψος ή Άξονας: καλείται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα κέντρα των βάσεων του κώνου.

Μετρήσεις

Γενέτειρα

$\lambda ={\sqrt {(P-\rho )^{2}+\upsilon ^{2}}}$

όπου ρ η ακτίνα της μικρής κυκλικής βάσης ενός κώνου,Ρ η ακτίνα της μεγάλης και υ το ύψος του.

Εμβαδόν κυρτής επιφάνειας

$\mathbf {S} =\pi \cdot (\rho +P)\cdot \lambda$

όπου ρ η ακτίνα της μικρής κυκλικής βάσης ενός κώνου,Ρ η ακτίνα της μεγάλης και λ η γενέτειρα του.

Εμβαδόν ολικής επιφάνειας

$\mathbf {S} =\pi \cdot (\rho +P)\cdot \lambda +\pi \cdot (\rho ^{2}+P^{2})$

όπου ρ η ακτίνα της μικρής κυκλικής βάσης ενός κώνου και Ρ η ακτίνα της μεγάλης.

Όγκος

$\mathbf {V} ={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot (\rho ^{2}+P^{2}+P\cdot \rho )\cdot \upsilon$

Ο τύπος μας δίνει τον όγκο του κόλουρου κώνου (όπου υ το ύψος του κώνου, ρ η ακτίνα της μικρής βάσης και Ρ η ακτίνα της μεγάλης βάσης).

Πραγματικά αντικείμενα σε σχήμα κόλουρου κώνου

Αρκετά αντικείμενα εμφανίζουν το σχήμα του κόλουρου κώνου. Ένα από αυτά είναι το κύπελλο καφέ. Γνωρίζοντας τις διαστάσεις του κυπέλλου μπορούμε να υπολογίσουμε κατά μικρή απόκλιση (λόγω της επιρροής της άρρητης σταθεράς π) το εμβαδόν και τον όγκο του(βλ. εικόνα). Παραδείγματος χάρη,για ένα κύπελλο με ακτίνα μικρής βάσης 2,85 cm ,ακτίνα μεγάλης 4,35 cm , ύψος 10,5 cm ισχύει:

Παράδειγμα

$\mathbf {V} ={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot 10.5\cdot (4.35^{2}+2.85^{2}+4.35\cdot 2.85)\simeq 433cm^{3}\ {\acute {\eta }}\ ml$ Άρα ο μέγιστος όγκος υγρού που μπορεί να χωρέσει το κύπελλο είναι 433 ml. Αντίστοιχα μπορούμε να βρούμε τον όγκο του σε οποιοδήποτε ύψος υπολογίζοντας αρχικά την ακτίνα της νέας μεγάλης βάσης. Για την ακτίνα,μετράμε την περιφέρεια με μια μετροταινία και χρησιμοποιούμε τον τύπο: L = 2πρ , όπου L η περιφέρεια .

π.χ. L = 20 cm άρα ρ = 10/π δηλαδή περίπου 3,18 cm κ.λπ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι - Πηγές

• Μαθηματικά B' Γυμνασίου (4.5. Ο κώνος και τα στοιχεία του) ebooks.edu.gr
• Μαθηματικά Γ' Λυκείου - Υπουργείο Παιδείας Κύπρου archeia.moec.gov.cy
• Αλέξανδρος Λαζαρίδης,Μαθηματικό Εγκόλπιο,σελ 64 ,έκδ. Δίαυλος,2009