Μαγνητοϋδροδυναμική

Μαγνητοϋδροδυναμική (συντομογραφικά ΜΥΔ) ονομάζεται ο επιστημονικός κλάδος που μελετά τη δυναμική των ηλεκτρικά αγώγιμων ρευστών. Παραδείγματα τέτοιων ρευστών είναι τα λιωμένα μέταλλα, το πλάσμα και το αλατόνερο (στο οποίο τα ιόντα χλωρίου και νατρίου είναι οι φορείς του ηλεκτρισμού). Ο κλάδος της ΜΥΔ αρχικά αναπτύχθηκε από τον Σουηδό Χάνες Αλφβέν, στον οποίο απονεμήθηκε το Βραβείο Νόμπελ Φυσικής του 1970.

Το πλάσμα από το οποίο αποτελείται ο Ήλιος μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένα σύστημα MHD

Η βασική ιδέα της μαγνητοϋδροδυναμικής έγκειται στο ότι είναι δυνατό να δημιουργηθεί ρεύμα σε ένα αγώγιμο υγρό, όταν αυτό βρεθεί υπό την επίδραση εξωτερικών μαγνητικών πεδίων. Τα ηλεκτρικά ρεύματα που δημιουργούνται στο ρευστό δημιουργούν δυνάμεις εξ επαγωγής, λόγω της ροής του ρευστού και κατά συνέπεια μπορούν να μεταβάλλουν το συνολικό μαγνητικό πεδίο.

Το σύνολο των εξισώσεων που περιγράφουν τη ΜΥΔ είναι ένας συνδυασμός των εξισώσεων Νάβιερ-Στόουκς της δυναμικής των ρευστών μαζί με τις εξισώσεις Μάξουελ του ηλεκτρομαγνητισμού. Αυτές οι εξισώσεις πρέπει να επιλυθούν ταυτόχρονα, είτε αναλυτικά είτε αριθμητικά, ώστε να υπάρξει περιγραφή των φαινομένων της ΜΥΔ.

Προσομοίωση του προβλήματος στροβίλου Orszag-Tang MHD, ενός γνωστού πρότυπου προβλήματος για τη δοκιμή της μετάβασης σε υπερηχητική δισδιάστατη τύρβη MHD.

Οι αρχές της ΜΥΔ έχουν εφαρμογές στη γεωλογία, για τη μελέτη του πυρήνα της Γης, στην αστροφυσική, όπου μελετώνται μεταξύ άλλων αστέρες, νεφελώματα και σχετικιστικοί πίδακες, καθώς και στη μηχανική, όπου μελετώνται μεταξύ άλλων η σταθεροποίηση και ο περιορισμός του πλάσματος, η ψύξη πυρηνικών αντιδραστήρων με υγρό μέταλλο και η χύτευση μετάλλων με ηλεκτρομαγνητικά μέσα.

Ιστορία

Η περιγραφή της ΜΥΔ των ηλεκτρικά αγώγιμων ρευστών αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Χάνες Αλφβέν σε μια δημοσίευση του 1942 στο περιοδικό Nature με τίτλο "Existence of Electromagnetic-Hydrodynamic Waves" (Ύπαρξη ηλεκτρομαγνητικών-υδροδυναμικών κυμάτων) στην οποία περιέγραφε την ανακάλυψη των κυμάτων Άλφβεν που σήμερα αναφέρονται ως κύματα Αλφβεν. Ο Άλφβεν αναφέρθηκε αρχικώς σε αυτά τα κύματα ως "ηλεκτρομαγνητικά-υδροδυναμικά κύματα"- ωστόσο, σε μια μεταγενέστερη δημοσίευση σημείωσε: "Καθώς ο όρος "ηλεκτρομαγνητικά-υδροδυναμικά κύματα" είναι κάπως περίπλοκος, ίσως είναι βολικό να ονομάσουμε αυτό το φαινόμενο "μαγνητο-υδροδυναμικά" κύματα".

Εξισώσεις

Στην MHD, η κίνηση στο ρευστό περιγράφεται χρησιμοποιώντας γραμμικούς συνδυασμούς των μέσων κινήσεων των επιμέρους ειδών: την πυκνότητα ρεύματος $\mathbf {J}$ και την ταχύτητα του κέντρου μάζας $\mathbf {v}$. Σε ένα δεδομένο ρευστό, κάθε είδος $\sigma$ έχει μια αριθμητική πυκνότητα $n_{\sigma }$, μάζα $m_{\sigma }$, ηλεκτρικό φορτίο $q_{\sigma }$ και μέση ταχύτητα $\mathbf {u} _{\sigma }$. Η συνολική πυκνότητα μάζας του ρευστού είναι τότε ${\textstyle \rho =\sum _{\sigma }m_{\sigma }n_{\sigma }}$ και η κίνηση του ρευστού μπορεί να περιγραφεί από την πυκνότητα ρεύματος που εκφράζεται ως εξής

$\mathbf {J} =\sum _{\sigma }n_{\sigma }q_{\sigma }\mathbf {u} _{\sigma }$

και η ταχύτητα του κέντρου μάζας εκφράζεται ως:

$\mathbf {v} ={\frac {1}{\rho }}\sum _{\sigma }m_{\sigma }n_{\sigma }\mathbf {u} _{\sigma }.$

Η MHD μπορεί να περιγραφεί από ένα σύνολο εξισώσεων που αποτελούνται από μια εξίσωση συνέχειας, μια εξίσωση κίνησης, μια εξίσωση κατάστασης, το νόμο του Αμπέρ, το νόμο του Φαραντέι και το νόμο του Ωμ. Όπως συμβαίνει με κάθε περιγραφή ρευστού σε ένα κινητικό σύστημα, πρέπει να εφαρμοστεί μια προσέγγιση κλεισίματος στην υψηλότερη στιγμή της εξίσωσης κατανομής των σωματιδίων. Αυτό επιτυγχάνεται συχνά με προσεγγίσεις της ροής θερμότητας μέσω μιας συνθήκης αδιαβατικότητας ή ισοθερμίας.

Στο αδιαβατικό όριο, δηλαδή με την παραδοχή μιας ισοτροπικής πίεσης $p$ και μιας ισοτροπικής θερμοκρασίας, ένα ρευστό με αδιαβατικό δείκτη $\gamma$, ειδική ηλεκτρική αντίσταση $\eta$, μαγνητικό πεδίο $\mathbf {B}$, και ηλεκτρικό πεδίο $\mathbf {E}$ μπορούν να περιγραφούν από την εξίσωση συνέχειας

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)=0,$

η καταστατική εξίσωση

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}\right)=0,$

η εξίσωση της κίνησης

$\rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} =\mathbf {J} \times \mathbf {B} -\nabla p,$

ο νόμος του Αμπέρ για τις χαμηλές συχνότητες

$\mu _{0}\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {B} ,$

Ο νόμος του Φαραντέι

${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} ,$

και ο νόμος του Ωμ

$\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\eta \mathbf {J} .$

Παίρνοντας την καμπύλη αυτής της εξίσωσης και χρησιμοποιώντας το Νόμο του Αμπέρ και το νόμο του Φαραντέι προκύπτει η εξίσωση της επαγωγής,

${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )+{\frac {\eta }{\mu _{0}}}\nabla ^{2}\mathbf {B} ,$

όπου $\eta /\mu _{0}$ είναι η μαγνητική διάχυση.

Στην εξίσωση της κίνησης, ο όρος της δύναμης Lorentz $\mathbf {J} \times \mathbf {B}$ μπορεί να αναπτυχθεί χρησιμοποιώντας το νόμο του Αμπέρ και την ταυτότητα του διανυσματικού λογισμού για να δώσει

$\mathbf {J} \times \mathbf {B} ={\frac {\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }{\mu _{0}}}-\nabla \left({\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right),$

όπου ο πρώτος όρος στη δεξιά πλευρά είναι η δύναμη μαγνητικής τάσης και ο δεύτερος όρος είναι η δύναμη μαγνητικής πίεσης.

Εφαρμογές

Γεωφυσική

Κάτω από τον μανδύα της Γης βρίσκεται ο πυρήνας, ο οποίος αποτελείται από δύο μέρη: τον στερεό εσωτερικό πυρήνα και τον υγρό εξωτερικό πυρήνα. Ο υγρός εξωτερικός πυρήνας κινείται με την παρουσία του μαγνητικού πεδίου και δημιουργούνται στρόβιλοι σε αυτόν λόγω του φαινομένου Κοριόλις.. Οι στρόβιλοι αυτοί αναπτύσσουν ένα μαγνητικό πεδίο που ενισχύει το αρχικό μαγνητικό πεδίο της Γης - μια διαδικασία που είναι αυτοσυντηρούμενη και ονομάζεται γεωμαγνητικό δυναμό.

Αναστροφές του γήινου μαγνητικού πεδίου

Με βάση τις εξισώσεις MHD, ο Γκλατζμάιερ και ο Πολ Ρόμπερτς δημιούργησαν ένα υπερυπολογιστικό πρότυπο του εσωτερικού της Γης. Μετά την εκτέλεση των προσομοιώσεων για χιλιάδες χρόνια σε εικονικό χρόνο, μπορούν να μελετηθούν οι αλλαγές στο μαγνητικό πεδίο της Γης. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης βρίσκονται σε καλή συμφωνία με τις παρατηρήσεις, καθώς οι προσομοιώσεις έχουν προβλέψει σωστά ότι το μαγνητικό πεδίο της Γης αναποδογυρίζει κάθε μερικές εκατοντάδες χιλιάδες χρόνια. Κατά τη διάρκεια των αναστροφών, το μαγνητικό πεδίο δεν εξαφανίζεται εντελώς - απλώς γίνεται πιο πολύπλοκο.

Βιβλιογραφία

• Bansal, J.L. (1994): Magnetofluiddynamics of Viscous Fluids, Jaipur Publishing House, Jaipur, India
• Biskamp, Dieter: Nonlinear Magnetohydrodynamics, Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-59918-0
• Davidson, Peter Alan (Μάιος 2001): An Introduction to Magnetohydrodynamics Cambridge University Press, ISBN 0-521-79487-0
• Faraday, M. (1832): «Experimental Researches in Electricity», First Series, Philosophical Transactions of the Royal Society, σσ. 125–162.
• Ferraro, Vincenzo Consolato Antonio & Plumpton, Charles: An Introduction to Magneto-Fluid Mechanics, 2η έκδ.
• Haverkort, J.W. (2009): Magnetohydrodynamics, short introduction for fluid dynamicists, Magnetohydrodynamics Αρχειοθετήθηκε 2014-10-26 στο Wayback Machine.
• Hughes, William F. & Young, Frederick J. (1966): The Electromagnetodynamics of Fluids John Wiley, Νέα Υόρκη
• Pai, Shih-I (1962): Magnetogasdynamics and Plasma Dynamics Springer-Verlag, Βιέννη, ISBN 0-387-80608-3