Μετρική (μαθηματικά)

Μετρική ονομάζεται μια συνάρτηση $d:V\times V\longrightarrow \mathbb {R}$, όπου $V\neq \emptyset$ τυχόν σύνολο, η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες για κάθε $x,y,z\in V\,$:

• $d(x,y)=0\,$, αν και μόνο αν $x=y\,$
• $d(x,y)=d(y,x)\,$
• $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (τριγωνική ανισότητα)

Η τιμή d(x,y) ονομάζεται απόσταση των x, y, (ενν. μέσω της μετρικής d). Οποιοδήποτε σύνολο εφοδιασμένο με μία μετρική ονομάζεται μετρικός χώρος.

Σε έναν μετρικό χώρο επιπλέον, μπορεί να δείξει κανείς ότι

$d(x,y)\geq 0$,

για κάθε $x,y\in X$. Πράγματι, για κάθε x και για κάθε y, η τριγωνική ανισότητα δίνει $d(x,y)+d(y,x)\geq d(x,x)$· από τα αξιώματα ταύτισης και συμμετρίας παίρνουμε $2d(x,y)\geq 0$, δηλαδή $d(x,y)\geq 0$.

Παραδείγματα

• Η Ευκλείδεια μετρική

• Η Διακριτή μετρική: $d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}$

• Η μετρική στο $\mathbb {R} ^{n}:$ $d_{\infty }(x,y)=\max {\{|x_{i}-y_{i}|:1\leq i\leq n\}}$