Μοναδιαίο διάνυσμα

Στην γραμμική άλγεβρα, μοναδιαίο διάνυσμα είναι κάθε διάνυσμα με μήκος (ή νόρμα) την μονάδα $1$, δηλαδή κάθε διάνυσμα $\mathbf {u}$ με $\|\mathbf {u} \|=1$. Για παράδειγμα, το διάνυσμα $\mathbf {u} _{1}=({\tfrac {3}{5}},{\tfrac {4}{5}})$ που έχει Ευκλείδειο μήκος $\|\mathbf {u} _{1}\|={\tfrac {3^{2}}{5^{2}}}+{\tfrac {4^{2}}{5^{2}}}={\tfrac {5^{2}}{5^{2}}}=1$.

Για κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα $\mathbf {u}$, το κανονικοποιημένο του μοναδιαίο διάνυσμα είναι το διάνυσμα ${\tfrac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$, το οποίο είναι παράλληλο στο $\mathbf {u}$.

Παραδείγματα

Παραδείγματα μοναδιαίων διανυσμάτων στο $\mathbb {R} ^{2}$. Όλα ανήκουν στον κύκλο με κέντρο $(0,0)$ και ακτίνα $1$.

• Το διάνυσμα $\mathbf {u} _{3}=({\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}})\in \mathbb {R} ^{3}$, καθώς έχει Ευκλείδειο μήκος $\|\mathbf {u} _{3}\|={\tfrac {2^{2}}{3^{2}}}+{\tfrac {1^{2}}{3^{2}}}+{\tfrac {2^{2}}{3^{2}}}=1$.
• Το διάνυσμα $\mathbf {u} _{4}=({\tfrac {2}{5}},{\tfrac {4}{5}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {2}{5}})\in \mathbb {R} ^{3}$, καθώς έχει Ευκλείδειο μήκος $\|\mathbf {u} _{4}\|={\tfrac {2^{2}}{5^{2}}}+{\tfrac {4^{2}}{5^{2}}}+{\tfrac {1^{2}}{5^{2}}}+{\tfrac {2^{2}}{5^{2}}}=1$.
• Στο $\mathbb {R} ^{2}$ κάθε διάνυσμα ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο. Αυτό ισχύει γιατί ένα διάνυσμα $\mathbf {v} =(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ είναι μοναδιαίο αν και μόνο αν $\|\mathbf {v} \|=x^{2}+y^{2}=1$, δηλαδή αν και μόνο αν ανήκει στον κύκλο με κέντρο $(0,0)$ και ακτίνα $1$.
• Για κάθε φυσικό αριθμό $n\in \mathbb {N}$, το διάνυσμα $\mathbf {u} _{n}=({\tfrac {1}{\sqrt {n}}},\ldots ,{\tfrac {1}{\sqrt {n}}})\in \mathbb {R} ^{n}$ είναι μοναδιαίο καθώς

$\|\mathbf {u} _{n}\|=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}=n\cdot {\tfrac {1}{n}}=1$.

• Τα διανύσματα $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ της κανονικής βάσης του $\mathbb {R} ^{n}$ είναι μοναδιαία, καθώς έχουν μήκος $\|\mathbf {e} _{i}\|=1$ για κάθε $1\leq i\leq n$. Πιο γενικά, τα διανύσματα κάθε ορθοκανονικής βάσης είναι μοναδιαία.