Ομομορφισμός δακτυλίων

Έστω $(R,+,\cdot )$ και $(S,\oplus ,*)$ δύο δακτύλιοι. Μία απεικόνιση $\phi :R\rightarrow S\;$ ονομάζεται ομομορφισμός δακτυλίων αν ισχύουν τα εξής:

$\phi (a+b)=\phi (a)\oplus \phi (b)$

$\phi (a\cdot b)=\phi (a)*\phi (b)$

για κάθε $a,b\in R$.

Αν επιπλέον η φ είναι 1-1 θα ονομάζεται μονομορφισμός δακτυλίων, ενώ αν είναι επί θα ονομάζεται επιμορφισμός δακτυλίων. Αν τυχαίνει η φ να είναι 1-1 και επί τότε ονομάζεται ισομορφισμός δακτυλίων.

Παρατηρούμε δηλαδή ότι οι ομομορφισμοί δακτυλίων «διατηρούν» τις πράξεις, κάτι το οποίο συμβαίνει και με τις γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ διανυσματικών χώρων. Επίσης αυτοί είναι το μέσο εκείνο που θα μας επιτρέψει να ταξινομήσουμε τους διαφόρους δακτυλίους, όπου με τον όρο "ταξινόμηση" εννοούμε την ταυτοποίηση των μελών μιας θεωρίας η οποία είναι ευρύτερη της ισότητας. Ειδικότερα οι ισομορφισμοί, όπως ορίστηκαν παραπάνω, είναι ένα μέσο με το οποίο μπορούμε να ταυτίζουμε δυο δακτυλίους.

Παραδείγματα

• Έστω $\phi :R\rightarrow R:r\mapsto \phi (r)=0_{R}$ για κάθε $r\in R$, ένα παράδειγμα ομομορφισμού δακτυλίων.

• Η απεικόνιση $\phi :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} :a+bi\mapsto \phi (a+bi):=a-bi$ είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων.