Παραγοντική ροπή

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η παραγοντική ροπή βαθμού $k\in \{0,1,\ldots \}$ μίας τυχαίας μεταβλητής $X$, ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή

$\operatorname {E} [X^{(k)}]=\operatorname {E} [X\cdot (X-1)\cdot \ldots \cdot (X-k+1)].$

Παραδείγματα

Κατανομή Πουασσόν

Έστω μία τυχαία μεταβλητή $X$ που ακολουθεί την κατανομή Πουασσόν με παράμετρο $\lambda >0$. Η παραγοντική ροπή βαθμού $k$ δίνεται από τον τυπο:

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{(k)}]&=\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\cdot x\cdot (x-1)\cdot \ldots \cdot (x-k+1)\\&=\lambda ^{k}\cdot \sum _{x=k}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x-k}}{(x-k)!}}\\&=\lambda ^{k}\cdot \sum _{x=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\\&=\lambda ^{k}\cdot \sum _{x=0}^{\infty }\operatorname {P} (X=x)\\&=\lambda ^{k}.\end{aligned}}$

Διωνυμική κατανομή

Έστω μία τυχαία μεταβλητή $X$ που ακολουθεί την διωνυμική κατανομή ${\mathsf {Bin}}(n,p)$. Η παραγοντική ροπή βαθμού $k$ δίνεται από τον τύπο:

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{(k)}]&=\sum _{x=0}^{n}{\binom {n}{x}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{n-x}\cdot x\cdot (x-1)\cdot \ldots \cdot (x-k+1)\\&=\sum _{x=0}^{n}{\frac {n!}{x!\cdot (n-x)!}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{n-x}\cdot x\cdot (x-1)\cdot \ldots \cdot (x-k+1)\\&=\sum _{x=k}^{n}{\frac {n!}{(x-k)!\cdot (n-x)!}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{(n-k)-(x-k)}\\&=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)\cdot \sum _{x=k}^{n}{\binom {n-k}{x-k}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{(n-k)-(x-k)}\\&=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)\cdot \sum _{x=0}^{n-k}{\binom {n-k}{x}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{(n-k)-x}\\&=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1).\end{aligned}}$