Συμμετρική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται συμμετρική αν η τιμή της δεν εξαρτάται από την σειρά των ορισμάτων. Για παράδειγμα, μία συνάρτηση $f$ που δέχεται δύο ορίσματα είναι συμμετρική αν $f(x_{1},x_{2})=f(x_{2},x_{1})$.

Γραφική παράσταση και ισοϋψείς για την συμμετρική συνάρτηση $f(x,y)=x\cdot y-x-y$. Η συνάρτηση έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία $y=x$.

Πιο γενικά, μία συνάρτηση που δέχεται $n$ ορίσματα $f:X^{n}\to Y$ είναι συμμετρική αν για κάθε $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ και κάθε μετάθεση $\pi$ μεταξύ $n$ στοιχείων ισχύει ότι

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{\pi (1)},x_{\pi (2)},\ldots ,x_{\pi (n)})$.

Οι γραφικές παραστάσεις των πραγματικών συναρτήσεων με δύο ορίσματα έχουν άξονα συμμετρίας την συνάρτηση $y=x$.

Παραδείγματα

• Η πραγματική συνάρτηση $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}$.
• Η πραγματική συνάρτηση $g(x_{1},x_{2},x_{3})=\cos(x_{1}+x_{2})+\cos(x_{2}+x_{3})+\cos(x_{3}+x_{1})$.
• Η πραγματική συνάρτηση $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}$ είναι συμμετρική, καθώς το άθροισμα ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα.
• Παρόμοια και η συνάρτηση $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}$.
• Η σταθερή συνάρτηση $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c$ είναι προφανώς συμμετρική για κάθε σταθερά $c\in Y$.

Δείτε επίσης

• Συμμετρικό πολυώνυμο
• Άρτια συνάρτηση
• Περιττή συνάρτηση