Τετραγωνική ρίζα του 3

Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 3. Συμβολίζεται με ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ ή $3^{1/2}$ . Ονομάζεται ακριβέστερα η κύρια τετραγωνική ρίζα του 3 για να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα. Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ένας άρρητος αριθμός. Είναι επίσης γνωστή ως η σταθερά του Θεοδώρου, από τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο που απέδειξε την αρρητότητά της.

Έως τον Δεκέμβριο του 2013, η αριθμητική της τιμή είχε υπολογιστεί σε τουλάχιστον δέκα δισεκατομμύρια ψηφία. Η δεκαδική της επέκταση, γραμμένη εδώ σε 60 δεκαδικά ψηφία, δίνεται από την ακολουθία A002194:

1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806...

Το κλάσμα ${\textstyle {\frac {97}{56}}}$ ( 1.732142857...) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως καλή προσέγγιση. Παρόλο που έχει παρονομαστή μόνο το 56, διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από ${\textstyle {\frac {1}{10,000}}}$ (περίπου ${\textstyle 9.2\times 10^{-5}}$ , με σχετικό σφάλμα ${\textstyle 5\times 10^{-5}}$ ). Η στρογγυλοποιημένη τιμή του, 1.732, έχει σχετικό σφάλμα μόλις 0,01%.

Το κλάσμα ${\textstyle {\frac {716,035}{413,403}}}$ ( 1.73205080756...) έχει σχετικό σφάλμα ${\textstyle 1\times 10^{-11}}$ .

Ο Αρχιμήδης ανέφερε ένα εύρος για την τιμή της: ${\textstyle ({\frac {1351}{780}})^{2}>3>({\frac {265}{153}})^{2}}$ .^[1]

Το κατώτερο όριο ${\textstyle {\frac {1351}{780}}}$ είναι μια ακριβής προσέγγιση για το ${\sqrt {3}}$ που διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από ${\textstyle {\frac {1}{608,400}}}$ (έξι δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα ${\textstyle 3\times 10^{-7}}$ ) και το ανώτατο όριο ${\textstyle {\frac {265}{153}}}$ διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από ${\textstyle {\frac {2}{23,409}}}$ (τέσσερα δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα ${\textstyle 1\times 10^{-5}}$ ).

Σχέσεις Επεξεργασία

Το ${\sqrt {3}}$ μπορεί να εκφραστεί ως το συνεχές κλάσμα [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (ακολουθία A040001 στην OEIS).

Είναι αλήθεια λοιπόν να πούμε ότι:

{\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}

οπότε, καθώς $n\to \infty$ :

{\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a_{22}}{a_{12}}}-1

.

Γεωμετρία και τριγωνομετρία Επεξεργασία

Το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου με μήκος πλευράς 2 είναι ίσο με √3. Επίσης, η πλευρά αυτή είναι η υποτείνουσα ενός τριγώνου 30-60-90 με μήκος 2.

Το ύψος ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρές μήκους 1 είναι ίσο με √3.

Η διαγώνιος του μοναδιαίου κύβου είναι √3.

Η τετραγωνική ρίζα του 3 μπορεί να βρεθεί ως το μήκος της καθέτου ενός ισόπλευρου τριγώνου που περιλαμβάνει έναν κύκλο με διάμετρο 1.

Εάν ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους 1 κοπεί σε δύο ίσα μισά, διχοτομώντας μια εσωτερική γωνία για να σχηματιστεί μια ορθή γωνία στη μία πλευρά, η υποτείνουσα του τριγώνου της ορθής γωνίας έχει μήκος ένα και οι πλευρές του έχουν μήκος ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ και ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ . Από αυτό, ${\textstyle \tan {60^{\circ }}={\sqrt {3}}}$ , ${\textstyle \sin {60^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ και ${\textstyle \cos {30^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ .

Η τετραγωνική ρίζα του 3 εμφανίζεται επίσης σε αλγεβρικές σχέσεις για διάφορες άλλες τριγωνομετρικές σταθερές, συμπεριλαμβανομένων^[2] των ημιτόνων των 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° και 87°.

Είναι η απόσταση μεταξύ των παράλληλων πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρές μήκους 1.

Είναι το μήκος της διαγωνίου ενός μοναδιαίου κύβου.

Άλλες χρήσεις και εμφανίσεις Επεξεργασία

Δυναμική μηχανική Επεξεργασία

Στην δυναμική μηχανική, η τάση μεταξύ δύο φάσεων σε ένα τριφασικό σύστημα είναι ίση με ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ φορές τη γραμμή προς την ουδέτερη τάση. Αυτό συμβαίνει επειδή οποιεσδήποτε δύο φάσεις απέχουν 120° μεταξύ τους και δύο σημεία σε έναν κύκλο με απόσταση 120 μοιρών χωρίζονται μεταξύ τους με ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ φορές την ακτίνα (δείτε παραδείγματα γεωμετρίας παραπάνω).

Ειδικές συναρτήσεις Επεξεργασία

Είναι γνωστό ότι οι περισσότερες ρίζες της ν-οστής παραγώγου της $J_{\nu }^{(n)}(x)$ (όπου n < 18 και $J_{\nu }(x)$ είναι η συνάρτηση Μπέσελ πρώτου τύπου τάξης $\nu$ ) είναι υπερβατικές. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι αριθμοί $\pm {\sqrt {3}}$ , που είναι οι αλγεβρικές ρίζες της $J_{1}^{(3)}(x)$ και της $J_{0}^{(4)}(x)$ .^[3]

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Βιβλιογραφία Επεξεργασία

↑ Knorr, Wilbur R. (June 1976). «Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation». Archive for History of Exact Sciences 15 (2): 115–140. doi:10.1007/bf00348496. MR 0497462. https://link.springer.com/article/10.1007/BF00348496. Ανακτήθηκε στις November 15, 2022.
↑ Wiseman, Julian D. A. (Ιουνίου 2008). «Sin and Cos in Surds». JDAWiseman.com. Ανακτήθηκε στις 15 Νοεμβρίου 2022.
↑ Lorch, Lee; Muldoon, Martin E. (1995). «Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions». International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 18 (3): 551–560. doi:10.1155/S0161171295000706.

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Τετραγωνική ρίζα του 3

[1] Knorr, Wilbur R. (June 1976). «Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation». Archive for History of Exact Sciences 15 (2): 115–140. doi:10.1007/bf00348496. MR 0497462. https://link.springer.com/article/10.1007/BF00348496. Ανακτήθηκε στις November 15, 2022.

[2] Wiseman, Julian D. A. (Ιουνίου 2008). «Sin and Cos in Surds». JDAWiseman.com. Ανακτήθηκε στις 15 Νοεμβρίου 2022.

[lorch-3] Lorch, Lee; Muldoon, Martin E. (1995). «Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions». International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 18 (3): 551–560. doi:10.1155/S0161171295000706.

[1]

[2]

[3]