Υπερβολική γεωμετρία

Στα μαθηματικά, η υπερβολική γεωμετρία (επίσης ονομάζεται γεωμετρία του Λομπατσέφσκι (Лобаче́вский)) είναι μια μη Ευκλείδεια γεωμετρία, δηλαδή μια γεωμετρία στην οποία ορισμένα από τα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας δεν ισχύουν. Συγκεκριμένα, στην υπερβολική γεωμετρία δεν ισχύει το αξίωμα των παραλλήλων. Το αξίωμα των παραλλήλων της δισδιάστατης Ευκλείδειας γεωμετρίας αντιστοιχεί στην πρόταση ότι, για οποιαδήποτε (ευθεία) γραμμή I και ένα σημείο P που δεν ανήκει στην I υπάρχει ακριβώς μία και μόνο (ευθεία) γραμμή που διέρχεται από το P και δεν τέμνει την I, δηλαδή είναι παράλληλη στην I. Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν τουλάχιστον δύο ξεχωριστές γραμμές που διέρχονται από το P και οι οποίες δεν τέμνουν την I, και το αξίωμα των παραλλήλων ευθειών είναι για την υπερβολική γεωμετρία εσφαλμένο. Έχουν κατασκευαστεί μοντέλα εντός της Ευκλείδειας που υπακούν στα αξιώματα της υπερβολικής γεωμετρίας, το οποίο δείχνει ότι το αξίωμα των παραλλήλων είναι ανεξάρτητο από τα άλλα αξιώματα του Ευκλείδη.

Γραμμές που διέρχονται από δεδομένο σημείο Ρ και είναι ασυμπτωτικές στην ευθεία R

Ένα τρίγωνο επί "επιπέδου" σχήματος σέλας (υπερβολικό παραβολοειδές), καθώς επίσης και δύο αποκλίνουσες υπερπαράλληλες ευθείες

Δεν υπάρχει ακριβές υπερβολικό αντίστοιχο των ευκλείδειων παράλληλων ευθειών, με αποτέλεσμα η χρήση του όρου παράλληλο να ποικίλει ανάμεσα στους συγγραφείς. Σ ’αυτό το άρθρο, δύο γραμμές που δεν τέμνονται όσο κι αν τις επεκτείνουμε ονομάζονται ασυμπτωτικές και δύο γραμμές που έχουν μία κοινή κάθετο ονομάζονται υπερπαράλληλες: η απλή λέξη παράλληλη μπορεί να αναφέρεται και στα δύο είδη γραμμών.

Ιδιότητες

Σχέση με την Ευκλείδεια γεωμετρία

Η υπερβολική γεωμετρία έχει στενότερη σχέση με την Ευκλείδεια γεωμετρία απ' ό,τι φαίνεται: η μόνη αξιωματική διαφορά είναι το αξίωμα της παραλληλίας. Όταν το αξίωμα της παραλληλίας αφαιρείται από την Ευκλείδεια γεωμετρία, η γεωμετρία που προκύπτει είναι μία απόλυτη γεωμετρία. Υπάρχουν δύο τύποι απόλυτης γεωμετρίας: η Ευκλείδεια και η υπερβολική. Όλα τα θεωρήματα της απόλυτης γεωμετρίας, συμπεριλαμβανομένων των 28 πρώτων προτάσεων του πρώτου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη, ισχύουν στην Ευκλείδεια και στην υπερβολική γεωμετρία. Οι προτάσεις 27 και 28 του πρώτου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη αποδεικνύουν την ύπαρξη παράλληλων ή μη τεμνόμενων ευθειών.

Αυτή η διαφορά έχει επίσης ορισμένες συνέπειες: έννοιες που είναι ισοδύναμες στην Ευκλείδεια γεωμετρία δεν είναι ισοδύναμες στην υπερβολική γεωμετρία και πρέπει να εισαχθούν νέες έννοιες. Επιπλέον, λόγω της γωνίας παραλληλίας, η υπερβολική γεωμετρία έχει μια απόλυτη κλίμακα, μια σχέση μεταξύ των μετρήσεων της απόστασης και της γωνίας.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Hyperbolic geometry στο Wikimedia Commons

Δημοσιεύσεις

• A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171–105.
• Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
• Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co. 
• Fenchel, Werner· Nielsen, Jakob (2003). Asmus L. Schmidt, επιμ. Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co. 
• Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN|978-3-03719-087-6 /hbk
• Milnor, John W., (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
• Reynolds, William F., (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442–455.
• Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697. 
• Samuels, David, (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
• James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry Αρχειοθετήθηκε 2010-07-06 στο Wayback Machine., MSRI Publications, volume 31.