Φανταστικός αριθμός

Στα μαθηματικά, ένας φανταστικός αριθμός (ή καθαροφανταστικός αριθμός) είναι ένας μιγαδικός αριθμός, το τετράγωνο του οποίου είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός. Ο όρος πλάστηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ το 1637 στο έργο του "Η Γεωμετρία" (La Géométrie) και είχε κάπως υποτιμητική σημασία. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού, είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός. Συνεπώς, αριθμοί με τις ιδιότητες των φανταστικών αριθμών θεωρούνταν εκείνη την εποχή ότι δεν μπορεί να "υπάρχουν" πραγματικά, όπως άλλωστε και το μηδέν και οι αρνητικοί αριθμοί θεωρήθηκαν κατά καιρούς από κάποιους ως πλασματικοί ή άχρηστοι.

Μπορεί κανείς να θεωρήσει τους φανταστικούς αριθμούς ως μια επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

Ορισμός

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή $a+bi$, όπου

$a\in \mathbb {R}$ και $b\in \mathbb {R} ^{*}$

και $i$ είναι η φανταστική μονάδα με την ιδιότητα:

$i^{2}=-1\$

δηλαδή, η φανταστική μονάδα εις το τετράγωνο ισούται με -1.

Μερικές φορές χρησιμοποιείται και ο συμβολισμός $i={\sqrt {-1}}$, δηλαδή η φανταστική μονάδα σημειώνεται ως τετραγωνική ρίζα του αριθμού (-1). Αυτός όμως ο συμβολισμός καλό είναι να αποφεύγεται, διότι μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένα αποτελέσματα (π.χ. $-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$).

Ο αριθμός $a$ είναι το πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, ενώ ο $b$ είναι το φανταστικό μέρος. Μολονότι ο Ντεκάρτ χρησιμοποίησε αρχικά τον όρο "φανταστικός αριθμός" για να υποδηλώσει αυτό που ονομάζουμε σήμερα "μιγαδικό αριθμό", ο όρος "φανταστικός αριθμός" σήμερα σημαίνει συνήθως τον μιγαδικό αριθμό με πραγματικό μέρος ίσο με το $0$ και φανταστικό μή μηδενικό, δηλαδή έναν αριθμό της μορφής $bi:b\in \mathbb {R} ^{*}$. (Μερικές φορές λέμε ότι οι φανταστικοί αριθμοί είναι "τα πολλαπλάσια της φανταστικής μονάδας").

Οι φανταστικοί αριθμοί στην πράξη

Παρά το παραπλανητικό τους όνομα, οι φανταστικοί αριθμοί είναι όχι μόνο υπαρκτοί αλλά και πολύ χρήσιμοι, με εφαρμογή στον ηλεκτρισμό, στην επεξεργασία σημάτων και σε πολλές άλλες εφαρμογές. Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών τους καθιστά ιδανικούς για την αναπαράσταση περιστρεφόμενων διανυσμάτων και φάσεων και συνεπώς χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην ηλεκτρονική (για την αναπαράσταση εναλλασσόμενων ρευμάτων), στην κυματική και γενικά στη μελέτη των περιοδικών φαινομένων.

Γεωμετρική ερμηνεία (μιγαδικό επίπεδο)

Αν ερμηνεύσουμε τον πολλαπλασιασμό ic (όπου c πραγματικός) ως στροφή του τμήματος Οc γύρω από το Ο κατά ορθή γωνία, το Οc στρέφεται και συμπίπτει με τον άξονα Οy, ένας επόμενος πολλαπλασιασμός με i, δηλαδή i²c, στρέφει το Οc κατά μια ακόμη ορθή γωνία και τελικά το +Οc γίνεται -Οc. Ως πράξη ο πολλαπλασιασμός με i² εχει το ίδιο αποτέλεσμα με τον πολλαπλασιασμό με -1, ο πολλαπλασιασμός με i έχει το ίδιο αποτέλεσμα με τη στροφή κατά ορθή γωνία.