Φρακτάλ της λέξης Fibonacci

Το φράκταλ της λέξης Fibonacci είναι μια φρακταλική καμπύλη που ορίζεται στο επίπεδο της λέξης Fibonacci.

Οι πρώτες επαναλήψεις

Ορισμός

Αναπαράσταση του L-system

Αυτή η καμπύλη κατασκευάζεται επαναληπτικά εφαρμόζοντας τον κανόνα σχεδίασης μονών-ζυγών στη λέξη Fibonacci 0100101001001...:

Για κάθε ψηφίο στη θέση k:

1. Σχεδιάστε ένα τμήμα προς τα εμπρός
2. Εάν το ψηφίο είναι 0:
   • Στρίψτε 90° προς τα αριστερά αν το k είναι ζυγός
   • Στρίψτε κατά 90° προς τα δεξιά αν το k είναι απόκλιση

Σε μια λέξη Fibonacci μήκους $F_{n}$ (ο n'^th αριθμός Fibonacci συνδέεται μια καμπύλη ${\mathcal {F}}_{n}$ που αποτελείται από τμήματα $F_{n}$. Η καμπύλη εμφανίζει τρεις διαφορετικές όψεις αν ο n είναι της μορφής 3k, 3k + 1, ή 3k + 2.

Ιδιότητες

Οι αριθμοί Fibonacci στο φράκταλ της λέξης Fibonacci.

Μερικές από τις ιδιότητες του φράκταλ της λέξης Fibonacci περιλαμβάνουν:

• Η καμπύλη ${\mathcal {F_{n}}}$ περιέχει $F_{n}$ τμήματα, $F_{n-1}$ ορθές γωνίες και $F_{n-2}$ επίπεδες γωνίες.
• Η καμπύλη δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό της και δεν περιέχει διπλά σημεία. Στο όριο, περιέχει άπειρα σημεία ασυμπτωτικά κοντά.
• Η καμπύλη παρουσιάζει αυτο-ομοιότητες σε όλες τις κλίμακες. Ο λόγος αναγωγής είναι $1+{\sqrt {2}}$. Αυτός ο αριθμός, που ονομάζεται επίσης λόγος αργύρου, είναι παρών σε μεγάλο αριθμό ιδιοτήτων που αναφέρονται παρακάτω.
• Ο αριθμός των αυτο-ομοιώσεων στο επίπεδο n είναι ένας αριθμός Fibonacci \ -1. (ακριβέστερα: $F_{3n+3}-1$).
• Η καμπύλη περικλείει μια απειρία τετραγωνικών δομών φθίνοντος μεγέθους σε αναλογία $1+{\sqrt {2}}$ (βλ. σχήμα). Ο αριθμός αυτών των τετραγωνικών δομών είναι ένας αριθμός Φιμπονάτσι.
• Η καμπύλη ${\mathcal {F}}_{n}$ μπορεί επίσης να κατασκευαστεί με διάφορους τρόπους (βλ. γκαλερί παρακάτω):
  • Επαναληπτικό σύστημα συναρτήσεων των 4 και 1 ομοιοθεσιών του λόγου $1/(1+{\sqrt {2}})$ και $1/(1+{\sqrt {2}})^{2}$
  • Συνδέοντας τις καμπύλες ${\mathcal {F}}_{n-1}$ και ${\mathcal {F}}_{n-2}$
  • Σύστημα Λιντενμάγιερ
  • Με μια επαναληπτική κατασκευή 8 τετραγωνικών μοτίβων γύρω από κάθε τετραγωνικό μοτίβο.
  • Με μια επαναληπτική κατασκευή οκτάγωνοων
• H διάσταση Χάουσντορφ (Hausdorff) του φράκταλ της λέξης Fibonacci είναι $3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379$, με $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ τη χρυσή τομή.
• Γενικεύοντας σε μια γωνία $\alpha$ μεταξύ 0 και $\pi /2$, η διάσταση Hausdorff της είναι $3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}$, με $a=\cos \alpha$.
• Η διάσταση Hausdorff του συνόρου του είναι ${\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465$.
• Αν αλλάξουμε τους ρόλους του "0" και του "1" στη λέξη Fibonacci ή στον κανόνα σχεδίασης, προκύπτει μια παρόμοια καμπύλη, αλλά προσανατολισμένη κατά 45°.
• Από τη λέξη Fibonacci, μπορεί κανείς να ορίσει την "πυκνή λέξη Fibonacci", σε ένα αλφάβητο 3 γραμμάτων: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (ακολουθία A143667 στην OEIS). Η χρήση, σε αυτή τη λέξη, ενός πιο απλού κανόνα σχεδίασης, ορίζει ένα άπειρο σύνολο παραλλαγών της καμπύλης, μεταξύ των οποίων:
  • μια "διαγώνια παραλλαγή".
  • μια "παραλλαγή της σβάστικας" ** μια "παραλλαγή της σβάστικας"
  • μια "συμπαγής παραλλαγή".
• Εικάζεται ότι το φράκταλ της λέξης Φιμπονάτσι εμφανίζεται για κάθε λέξη Στουρμιού για την οποία η κλίση, γραμμένη σε συνεχές ανάπτυγμα κλάσματος, καταλήγει σε μια άπειρη ακολουθία από  "1 "s.

Έκθεση φωτογραφιών

• 
  Καμπύλη μετά από $\textstyle {F_{23}}$ επαναλήψεις.
• 
  Αυτο-ομοιότητες σε διαφορετικές κλίμακες.
• 
  Διαστάσεις.
• 
  Κατασκευή με αντιπαράθεση (1)
• 
  Κατασκευή με αντιπαράθεση (2)
• 
  Τάξη 18, με μερικά υποορθογώνια χρωματισμένα.
• 
• 
  Κατασκευή με επαναλαμβανόμενη καταστολή τετραγωνικών μοτίβων.
• 
  Κατασκευή με επαναληπτικά οκτάγωνα.
• 
  Κατασκευή με επαναληπτική συλλογή 8 τετραγωνικών μοτίβων γύρω από κάθε τετραγωνικό μοτίβο.
• 
  Με γωνία 60°.
• 
  Αντιστροφή του "0" και του "1".
• 
  Παραλλαγές που παράγονται από την πυκνή λέξη Fibonacci.
• 
  Η "συμπαγής παραλλαγή"
• 
  Η "παραλλαγή svastika"
• 
  Η "διαγώνια παραλλαγή"
• 
  Η παραλλαγή "π/8"
• 
  Δημιουργία του καλλιτέχνη (Σαμουέλ Μονιέ).

Το πλακίδιο Fibonacci

Ατελής πλακοστρωσία με το πλακίδιο Fibonacci. Το εμβαδόν του κεντρικού τετραγώνου τείνει στο άπειρο.

Η παράθεση τεσσάρων καμπυλών $F_{3k}$ επιτρέπει την κατασκευή μιας κλειστής καμπύλης που περικλείει μια επιφάνεια της οποίας το εμβαδόν δεν είναι μηδενικό. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται "πλακίδιο Φιμπονάτσι".

• Το πλακίδιο Fibonacci σχεδόν καλύπτει το επίπεδο. Η παράθεση 4 πλακιδίων (βλέπε εικόνα) αφήνει στο κέντρο ένα ελεύθερο τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν τείνει στο μηδέν καθώς το k τείνει στο άπειρο. Στο όριο, το άπειρο κεραμίδι Fibonacci καλύπτει το επίπεδο.
• Αν το πλακίδιο περικλείεται σε ένα τετράγωνο πλευράς 1, τότε το εμβαδόν του τείνει στο $2-{\sqrt {2}}=0.5857$.

Ιδανική τοποθέτηση πλακιδίων από τη νιφάδα χιονιού Fibonacci

Χιονονιφάδα Φιμπονάτσι

Χιονονιφάδες Fibonacci για i = 2 για n = 1 έως 4: $\sideset {}{_{1}^{\left[2\right]}\quad }\prod$, $\sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod$, $\sideset {}{_{3}^{\left[2\right]}\quad }\prod$, $\sideset {}{_{4}^{\left[2\right]}\quad }\prod$

Η χιονονιφάδα Fibonacci είναι ένα πλακίδιο Fibonacci που ορίζεται από:

• $q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}$ if $n\equiv 2{\pmod {3}}$
• $q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}$ otherwise.

with $q_{0}=\epsilon$ and $q_{1}=R$, $L=$ "turn left" and $R=$ "turn right", and ${\overline {R}}=L$.

Ορισμένες αξιοσημείωτες ιδιότητες: Πρόκειται για το πλακίδιο Fibonacci που σχετίζεται με την "διαγώνια παραλλαγή" που ορίστηκε προηγουμένως.

• Επικαλύπτει το επίπεδο σε οποιαδήποτε σειρά.
• Καλύπτει το επίπεδο με μετατόπιση με δύο διαφορετικούς τρόπους.
• Η περίμετρός του σε τάξη n ισούται με $4F(3n+1)$, όπου $F(n)$ είναι n'^ιοστός αριθμός Fibonacci.
• το εμβαδόν του στην τάξη n ακολουθεί τους διαδοχικούς δείκτες της μονής σειράς της ακολουθίας Pell (ορίζεται από τη σχέση $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$)

Δείτε επίσης

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Χρυσή τομή
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν