Βικιπαίδεια

Χρήστης:Ganaka16000/πρόχειρο/

< Χρήστης:Ganaka16000‎ | πρόχειρο

Ιστορία Επεξεργασία

Η ερώτηση του Πουανκαρέ Επεξεργασία

Στις αρχές του 20ου αιώνα, ο Ανρί Πουανκαρέ, δούλευε πάνω στα θεμέλια της τοπολογίας—αυτό που αργότερα θα ονομαζόταν "συνδυαστική τοπολογία" και, στη συνέχεια, "αλγεβρική τοπολογία". Ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για τις τοπολογικές ιδιότητες που χαρακτήριζαν μια σφαίρα.

O Πουανκαρέ ισχυρίστηκε το 1900 ότι η ομολογία, ένα εργαλείο που είχε επινοήσει με βάση προηγούμενη εργασία του Enrico Betti, ήταν αρκετά αξιόπιστη για να πει εάν μια 3-πολλαπλότητα ήταν μια 3-σφαίρα. Ωστόσο, σε μια εργασία του το 1904 περιέγραψε ένα αντιπαράδειγμα προς αυτόν του τον ισχυρισμού, ένα χώρο που πλέον ονομάζεται ομολογική σφαίρα Πουανκαρέ. Ο σφαίρα Πουανκαρέ ήταν το πρώτο παράδειγμα μιας ομολογικής σφαίρας, μια πολλαπλότητα που είχε την ίδια ομολογία, όπως μια σφαίρα, από την οποία έχουν κατασκευαστεί πολλές από τότε. Για να αποδείξει ότι η σφαίρα Πουανκαρέ ήταν διαφορετική από την 3-σφαίρα, ο Πουανκαρέ εισήγαγε μια νέα τοπολογική μη μεταβλητή, τη θεμελιώδη ομάδα και έδειξε ότι η σφαίρα Πουανκαρέ είχε μια θεμελιώδη ομάδα της τάξης 120, ενώ η 3-σφαίρα είχε μια ασήμαντο θεμελιώδη ομάδα. Με αυτό τον τρόπο ήταν σε θέση να συμπεράνει ότι αυτοί οι δύο χώροι ήταν, πράγματι, διαφορετικοί.

Στην ίδια εργασία, ο Πουανκαρέ, αναρωτήθηκε αν μια 3-πολλαπλότητα με την ομολογία μιας 3-σφαίρα και με μια ασήμαντο θεμελιώδη ομάδα ήταν αναπόφευκτα μια 3-σφαίρα. Η νέα κατάσταση του Πουανκαρέ—δηλαδή, h "ασήμαντο θεμελιώδη ομάδα"—μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως "κάθε βρόχος μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο."

Η αρχική διατύπωση ήταν η εξής: "Σκεφτείτε μια συμπαγή 3-διάστατη πολλαπλότητα V χωρίς φράγμα. Είναι δυνατόν η θεμελιώδης ομάδα της V να είναι ασήμαντο, ακόμα κι αν η V δεν είναι ομομορφική ως προς την 3-διάστατη σφαίρα;"

Ο Poincaré δεν έχει δηλώσει εάν πίστευε ότι αυτή η πρόσθετη συνθήκη θα χαρακτήριζε την 3-σφαίρα, αλλά παρ ' όλα αυτά, η δήλωση ότι αυτό συμβαίνει είναι γνωστή ως η Εικασία του Πουανκαρέ. Ακολουθεί η τυποποιημένη μορφή η εικασία: "Κάθε απλώς συνεκτική 3-πολλαπλότητα είναι τοπολογικά όμοια με την 3-σφαίρα"

Απόπειρες επίλυσης Επεξεργασία

Για αρκετό καιρό το πρόβλημα , μέχρι την στιγμή που ο  J. H. C. Whitehead αναθέρμανε το ενδιαφέρον για την εικασία, όταν στη δεκαετία του 1930 ισχυρίστηκε για πρώτη φορά πως είχε βρει την απόδειξη, την οποία στη συνέχεια απέσυρε. Μέσα από αυτή τη διαδικασία όμως, ανακάλυψε μερικά ενδιαφέροντα παραδείγματα απλά συνδεδεμένων μη-συμπαγών 3-πολλαπλοτήτων μη ομομορφισμών στο R3, το πρωτότυπο της οποίας είναι γνωστό ως Πολλαπλότητα Whitehead.

Στη δεκαετία του 1950 και του 1960, διάφοροι μαθηματικοί ισχυρίστηκαν πως βρήκαν την απόδειξη, μόνο για να αποδειχθεί ότι έκαναν λάθος. Σημαντικοί μαθηματικοί όπως ο Bing, ο Haken, ο Moisè, και ο Papakyriakopoulos ασχολήθηκαν επίμονα με την εικασία. Το 1958, ο Bing, απέδειξε μια πιο "αδύναμη" εκδοχή της εικασία του Πουανκαρέ: αν κάθε απλώς κλειστή καμπύλη μιας συμπαγούς 3-πολλαπλότητας περιέχεται σε μια 3-σφαίρα, τότε η πολλαπλότητα είναι ομομορφική ως προς την 3-σφαίρα.[1] Επίσης, ο Bing  περιέγραψε μερικές από τις παγίδες στην προσπάθειά απόδειξης της εικασία του Πουανκαρέ.[2]

Με την πάροδο του χρόνου, η εικασία αποκτήσει τη φήμη ότι είναι ιδιαίτερα δύσκολο να αντιμετωπιστεί. Ο John Milnor σχολίασε ότι μερικές φορές τα σφάλματα σε λανθασμένες αποδείξεις μπορεί να είναι "αρκετά δύσκολο να ανιχνευθούν."[3] Εργασίες σχετικά με την εικασία βοήθησαν στην καλύτερη κατανόηση των 3-πολλαπλοτήτων. Εμπειρογνώμονες στον τομέα ήταν συχνά απρόθυμοι να ανακοινώσουν αποδείξεις, και είχαν την τάση να προβάλουν οποιαδήποτε τέτοια ανακοίνωση με σκεπτικισμό. Τη δεκαετία του 1980 και του 1990 δημοσιεύτηκαν πολλές ψευδείς αποδείξεις (όχι όμως σε  εγκεκριμένα περιοδικά).[4][5]

Μια έκθεση του προσπαθεί να αποδείξει την εικασία του Πουανκαρέ μπορεί να βρεθεί στο μη-τεχνικό βιβλίο Το Βραβείο του Πουανκαρέ από τον Γιώργο Szpiro.[6]

Διαστάσεις Επεξεργασία

Η ταξινόμηση των κλειστών επιφανειών δίνει καταφατική απάντηση στο αντίστοιχο ερώτημα για δύο διαστάσεις. Για διαστάσεις μεγαλύτερες από τρία, κάποιος μπορεί να εφαρμόσει τη Γενικευμένη εικασία του Πουανκαρέ: είναι μια ομοτοπική ν-σφαίρα ομομορφική ως προς τηνν σφαίρα; Μια ισχυρότερη υπόθεση είναι απαραίτητη * σε τέσσερις και περισσότερες διαστάσεις υπάρχουν απλά συνδεδεμένες, κλειστες πολλαπλότητες που δεν είναι ομοτοπικά ισοδύναμες με μια n-σφαίρα.

Ιστορικά, ενώ η εικασία σε τρεις διαστάσεις φαινόταν λογική, η γενικευμένη εικασία έμοιαζε να είναι ψευδής. Το 1961 ο Stephen Smale σόκαρε τους απανταχού μαθηματικούς αποδεικνύοντας την Γενικευμένη Εικασία του Πουανκαρέ για τέσσερις διαστάσεις και παραπάνω και επέκτεινε τις τεχνικές του για να αποδείξει το θεμελιώδες θεώρημα του συν συνορισμου. h-cobordism θεώρημα. Το 1982 Μιχαήλ Φρίντμαν απέδειξε τηνεικασία του Πουανκαρέ σε τέσσερις διαστάσεις. Η εργασία του Φρίντμαν άφησε ανοιχτό το ενδεχόμενο να υπάρχει μια ομαλή 4-πολλαπλότητα ομομορφική ως προς την 4-σφαίρα, η οποία δεν είναι διαφορομορφική (diffeomorphic) ως προς την 4-σφαίρα. Αυτή, η λεγόμενη ομαλή εικασία του Πουανκαρέ, σε διάσταση 4, παραμένει άλυτη και πιστεύεται ότι η απόδειξή της είνια πολύ δύσκολη. Για παράδειγμα, οι εξωτικές σφαίρες του Milnor δείχνουν ότι η ομαλή Poincaré εικασίες είναι ψευδής σε διάσταση επτά.

Αυτές παλαιότερες επιτυχίες σε μεγαλύτερες διαστάσεις άφησαν την περίπτωση των τριών διαστάσεων στο κενό. Η εικασία του Πουανκαρέ ήταν ουσιωδώς αληθινή τόσο σε διάσταση 4 όσο και σε μεγαλύτερες διαστάσεις για πολύ διαφορετικούς λόγους. Στη διάσταση τρία ωστόσο, η εικασία είχε μια αβέβαιη φήμη μέχρι που η εικασία της γεωμετρικοποίησης το έβαλε σε ένα πλαίσιο που διέπει όλες τις 3-πολλαπλότητες. Ο τζον Μόργκαν έγραψε

" Πιστεύω ότι πριν την δουλειά του Thurston στις υπερβολικές 3-πολλαπλότητες και...την εικασία της γεωμετρικοποίησης δεν υπήρχε ομοφωνία ανάμεσα στους ειδικούς σχετικά με το κατά πόσο η εικασία του Πουανκαρέ είναι αληθής ή όχι. Μετά τον Thurston, άρχισε να φαίνεται πως η εικασία του Πουανκαρέ (και η εικασία της γεωμετρικοποίησης) ήταν αληθείς.[7]

Το πρόγραμμα του Χάμιλτον και η λύση του Πέρελμαν Επεξεργασία

 
Διάφορα στάδια της ροής Ricci σε μια δισδιάστατη πολλαπλότητα

Το πρόγραμμα του Χάμιλτον ξεκίνησε το 1982, σε εργασία του, στην οποία εισήγαγε την ροή Ricci σε μια πολλαπλότητα και έδειξε πως αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη ορισμένων περιπτώσεων της εικασίας του Πουανκαρέ.[8] Τα χρόνια που ακολούθησαν επέκτεινε την δουλειά του αλλά δεν κατάφερε να αποδείξει την εικασία. Η πραγματική λύση δεν βρέθηκε μέχρι τη δημοσίευσή της από τον Grigori Perelman.

Στα τέλη του 2002 και 2003 Perelman δημοσίευσε τρεις εργασίες στο arXiv.[9][10][11] Σε αυτές τις εργασίες σκιαγράφησε μια απόδειξη της εικασία του Πουανκαρέ και μιας πιο γενικής εικασίας, της  εικασίας της γεωμετρικοποίησης του Thurston, ολοκληρώνοντας έτσι τη ροή Ricci που περιέγραψε νωρίτερα ο Richard Hamilton.

Από το Μάιο έως τον Ιούλιο του 2006, αρκετές ομάδες παρουσίασαν εργασίες που συμπλήρωναν τις λεπτομέρειες στην απόδειξη του Πέρελμαν , ως εξής:

  • Οι Bruce Kleiner και John W. Lott δημοσίευσαν μια εργασία στο arXiv τον Μάιο του 2006, η οποία συμπλήρωνε την απόδειξη του Πέρελμαν για την εικασία της γεωμετρικοποίησης.[12]
  • Οι Huai-Dong Cao και Xi-Ping Zhu δημοσίευσαν μια μελέτη στο τεύχος του Ιουνίου του 2006 της Asian Journal of Mathematics με μια έκθεση με την πλήρη απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ και της εικασίας της γεωμετρικοποίησης.[13] Αρχικά υπονόησαν πως η απόδειξη ήταν δικό τους επίτευγμα, βασιζόμενο στην θεωρία των Χάμιλτον και Πέρελμαν, αργότερα όμως απέσυραν την αρχική έκδοση της εργασίας και δημοσίευσαν μια αναθεωρημένη έκδοση, στην οποία αναφέρονται στην δουλειά τους ως "εκθεση της απόδειξης των Hamilton- Perelman".[14]  Επίσης, δημοσίευσαν μια διόρθωση αποκαλύπτοντας ότι ξέχασαν να αναφέρουν σωστά το έργο των Kleiner και Lott που δημοσιεύτηκε το 2003. Στο ίδιο τεύχος/θέμα, η συντακτική επιτροπή του AJM δημοσίευσε μια συγνώμμη γι αυτό που ονομάστηκε "απροσεξία" στην εργασία των Chao-Zhu.
  • Οι John Morgan και Gang Tian δημοσίευσαν μια εργασία στο arXiv τον Ιούλιο του 2006, η οποία έδωσε μια λεπτομερή απόδειξη της Εικασίας του Πουανκαρέ (που είναι κάπως πιο εύκολο από ό, τι η πλήρης εικασίας της γεωμετρικοποίησης[15] και επεκτάθηκε στο θέμα σε ένα βιβλίο.[16]

Και οι τρεις ομάδες διαπίστωσαν ότι τα κενά στην εργασία του Perelman ήσσονος σημασίας και θα μπορούσαν να συμπληρωθούν χρησιμοποιώντας δικές του τεχνικές.

Στις 22 αυγούστου, 2006, το ICM που απένειμε στον   Perelman το Μετάλλιο Fields για το έργο του σχετικά με την εικασία, αλλά o Perelman αρνήθηκε το μετάλλιο.[17][18][19] O John Morgan μίλησε στο ICM για την εικασία του Πουανκαρέ, στις 24 αυγούστου 2006, δηλώνοντας ότι "το 2003, ο Perelman απέδειξε η Εικασία του Πουανκαρέ."[20]

Τον Δεκέμβριο του 2006, το περιοδικό Science τίμησε την απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ, ως την πιο σημαντική Ανακάλυψη του Έτους και την χρησιμοποίησε ως εξώφυλλο.[6] 

References Επεξεργασία

  1. ↑ Bing, RH (1958). «Necessary and sufficient conditions that a 3-manifold be S3». Annals of Mathematics. Second Series 68 (1): 17–37. doi:10.2307/1970041. 
  2. ↑ Bing, RH (1964). «Some aspects of the topology of 3-manifolds related to the Poincaré conjecture». Lectures on Modern Mathematics. II. New York: Wiley, pp. 93–128. 
  3. ↑ Milnor, John (2004). «The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report» (PDF). Ανακτήθηκε στις 5 Μαΐου 2007. 
  4. ↑ Taubes, Gary (July 1987). «What happens when hubris meets nemesis». Discover 8: 66–77. 
  5. ↑ Matthews, Robert (9 April 2002). «$1 million mathematical mystery "solved"». NewScientist.com. http://www.newscientist.com/article.ns?id=dn2143. Ανακτήθηκε στις 2007-05-05. 
  6. ↑ Szpiro, George (29 Ιουλίου 2008). Poincaré's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles. Plume. ISBN 978-0-452-28964-2. 
  7. ↑ Morgan, John W., Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds.
  8. ↑ Hamilton, Richard (1982). «Three-manifolds with positive Ricci curvature». Journal of Differential Geometry 17 (2): 255–306. MR 0664497. Zbl 0504.53034. http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214436922. 
  9. ↑ Perelman, Grigori (2002). «The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications». arXiv:math.DG/0211159 [math.DG]. 
  10. ↑ Perelman, Grigori (2003). «Ricci flow with surgery on three-manifolds». arXiv:math.DG/0303109 [math.DG]. 
  11. ↑ Perelman, Grigori (2003). «Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds». arXiv:math.DG/0307245 [math.DG]. 
  12. ↑ Kleiner, Bruce; John W. Lott (2006). «Notes on Perelman's Papers». Geometry and Topology 12 (5): 2587–2855. doi:10.2140/gt.2008.12.2587. 
  13. ↑ Cao, Huai-Dong; Xi-Ping Zhu (June 2006). «A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow» (PDF). Asian Journal of Mathematics 10 (2). http://www.intlpress.com/AJM/p/2006/10_2/AJM-10-2-165-492.pdf. 
  14. ↑ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping (December 3, 2006). «Hamilton–Perelman's Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture». arXiv:math.DG/0612069 [math.DG]. 
  15. ↑ Morgan, John; Gang Tian (2006). «Ricci Flow and the Poincaré Conjecture». arXiv:math.DG/0607607 [math.DG]. 
  16. ↑ Morgan, John· Gang Tian (2007). Ricci Flow and the Poincaré Conjecture. Clay Mathematics Institute. ISBN 0-8218-4328-1. 
  17. ↑ Nasar, Sylvia; David Gruber (August 28, 2006). «Manifold destiny». The New Yorker: σελ. 44–57. 
  18. ↑ Chang, Kenneth (August 22, 2006). «Highest Honor in Mathematics Is Refused». New York Times. http://www.nytimes.com/2006/08/22/science/22cnd-math.html?hp&ex=1156305600&en=aa3a9d418768062c&ei=5094&partner=homepage. 
  19. ↑ «Reclusive Russian solves 100-year-old maths problem». China Daily: σελ. 7. 23 August 2006. http://www.chinadaily.com.cn/cndy/2006-08/23/content_671442.htm. 
  20. ↑ A Report on the Poincaré Conjecture.

[[Κατηγορία:Γεωμετρική τοπολογία]]

Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Χρήστης:Ganaka16000/πρόχειρο/&oldid=5869419"