Πρώτο θεώρημα διαμέσων

Στην γεωμετρία, το πρώτο θεώρημα διαμέσων (ή Απολλώνιο θεώρημα ή θεώρημα Απολλωνίου) ονομάζεται το θεώρημα που σχετίζει τα τετράγωνα των πλευρών ενός τριγώνου και το τετράγωνο της διαμέσου. Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με διάμεσο την $\mathrm {AM}$, ισχύει ότι

Διάμεσος $\mathrm {AM}$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$ (και $\mathrm {M}$ το μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$).

$\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}$.

Το θεώρημα αποτελεί ειδική περίπτωση του θεωρήματος Στιούαρτ.

Αποδείξεις

Σχήμα απόδειξης πρώτου θεωρήματος διαμέσων.

Απόδειξη με νόμο συνημιτόνων  

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\mathrm {AMB}$ έχουμε ότι

$\mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}-2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {MB} \cdot \cos \varphi$.

(1)

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\mathrm {AM\Gamma }$ έχουμε ότι

$\mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {M\Gamma } \cdot \cos(180^{\circ }-\varphi )$

${\phantom {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {MB} \cdot \cos \varphi$,

(2)

καθώς $\mathrm {MB} =\mathrm {M\Gamma }$, αφού $\mathrm {M}$ το μέσο του $\mathrm {B\Gamma }$.

Προσθέτοντας τις εξισώσεις (1) και (2), λαμβάνουμε ότι

$\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+2\mathrm {MB} ^{2}.$

Χρησιμοποιώντας ότι $\mathrm {MB} =\mathrm {M\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma }$ λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση. $\square$

Απόδειξη με διανύσματα  

Ξεκινάμε γράφοντας τα διανύσματα των πλευρών ${\vec {\rm {AB}}}$ και ${\vec {\rm {A\Gamma }}}$ ως εξής

${\vec {\rm {AB}}}={\vec {\rm {AM}}}+{\vec {\rm {MB}}}$,

και

${\vec {\rm {A\Gamma }}}={\vec {\rm {AM}}}+{\vec {\rm {M\Gamma }}}={\vec {\rm {AM}}}-{\vec {\rm {MB}}}$,

χρησιμοποιώντας ότι το ${\rm {M}}$ είναι το μέσο του ${\rm {B\Gamma }}$ και έτσι ${\vec {\rm {MB}}}=-{\vec {\rm {M\Gamma }}}$.

Επομένως, χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών μπορεί να γραφτεί ως εξής:

${\begin{aligned}{\rm {AB}}^{2}+{\rm {A\Gamma }}^{2}&=({\vec {\rm {AM}}}+{\vec {\rm {MB}}})\cdot ({\vec {\rm {AM}}}+{\vec {\rm {MB}}})\\&\qquad +({\vec {\rm {AM}}}-{\vec {\rm {MB}}})\cdot ({\vec {\rm {AM}}}-{\vec {\rm {MB}}})\\&={\rm {AM}}^{2}+2\cdot {\vec {\rm {AM}}}\cdot {\vec {\rm {MB}}}+{\rm {MB}}^{2}\\&\qquad +{\rm {AM}}^{2}-2\cdot {\vec {\rm {AM}}}\cdot {\vec {\rm {MB}}}+{\rm {MB}}^{2}\\&=2\cdot {\rm {AM}}^{2}+2\cdot {\rm {MB}}^{2}\\&=2\cdot {\rm {AM}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\rm {B\Gamma }}^{2},\end{aligned}}$

που ολοκληρώνει την απόδειξη. $\square$

Συνέπειες

• Τα μήκη των διαμέσων ενός τριγώνου δίνονται από τις σχέσεις

$\mu _{\rm {A}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}}$,

$\mu _{\rm {B}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}$,

$\mu _{\rm {\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}$.

• Το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ως συνέπεια του πρώτου θεωρήματος διαμέσων αφού σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ${\hat {\rm {A}}}=90^{\circ }$ ισχύει ότι $\mathrm {AM} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma }$, και επομένως

$\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}=\mathrm {B\Gamma } ^{2}$.

• Ο νόμος του παραλληλογράμμου προκύπτει εφαρμόζοντας το πρώτο θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Gamma \Delta }}$ και χρησιμοποιώντας ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται.
• Το θεώρημα Όιλερ για τα τετράπλευρα προκύπτει από τρεις εφαρμογές του πρώτου θεωρήματος διαμέσων.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Δεύτερο θεώρημα διαμέσων
• Θεώρημα Στιούαρτ
• Νόμος των συνημιτόνων
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Θεώρημα του Όιλερ (τετράπλευρα)