Αρχή της απροσδιοριστίας

Η αρχή της απροσδιοριστίας ή διαφορετικά αρχή της αβεβαιότητας είναι βασικό αξίωμα της κβαντικής μηχανικής που διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1927 από τον Βέρνερ Χάιζενμπεργκ (Werner Heisenberg, 1901 - 1976). Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας είναι αδύνατο να μετρηθεί ταυτόχρονα και με ακρίβεια, ούτε πρακτικά, ούτε και θεωρητικά η θέση και η ταχύτητα, ή ορμή, ενός σωματίου.
Εν αντιθέσει με την αρχή της αιτιοκρατίας, σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας υπάρχουν γεγονότα των οποίων η εκδήλωση δεν υπαγορεύεται από κάποια αιτία.

Η απροσδιοριστία αυτή δεν αναφέρεται στην ανικανότητα του ανθρώπου να παρατηρήσει ορισμένα φαινόμενα στον μικρόκοσμο (ούτε αποτελεί φιλοσοφική αγνωσία) αλλά σε μία πραγματική ιδιότητα του Φυσικού Κόσμου, η οποία εμφανίζεται και πειραματικά. Ο λόγος που δεν βλέπουμε αυτή την αβεβαιότητα στην καθημερινότητα είναι ότι εμφανίζεται σε πολύ μικρή κλίμακα και γίνεται κυρίως εμφανής στον μικρόκοσμο.

Εκφράσεις

Η βασική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας είναι αυτή του 1927:

Εάν μετράμε τη θέση ενός σωματίου με αβεβαιότητα $\Delta x$ και ταυτόχρονα μετράμε την ορμή του με αβεβαιότητα $\Delta p$ , τότε το γινόμενο των δύο μεγεθών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από έναν αριθμό της τάξης του $\hbar$ , όπου $\hbar$ (προφέρεται "h-bar") η ανηγμένη σταθερά του Πλανκ, $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ . Δηλαδή:

\Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}

Οι αβεβαιότητες των μεγεθών θέσης και ορμής $\Delta x$ και $\Delta p$ ισούνται με τη διασπορά τους γύρω από τη μέση τους τιμή. Ο ίδιος ο Χάιζενμπεργκ εξήγησε ότι η ελάχιστη αβεβαιότητα στη μέτρηση των $\Delta x$ και $\Delta p$ δεν είναι πειραματικό σφάλμα, δεν οφείλεται δηλαδή στις ατέλειες των πειραματικών συσκευών, αλλά προκύπτει από τη δομή της ύλης καθεαυτήν. Πιο συγκεκριμένα, η σχέση αβεβαιότητας είναι άμεση συνέπεια του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης. Σε θεωρητικό επίπεδο, είναι αποτέλεσμα των μεταθετικών σχέσεων ανάμεσα στους κβαντομηχανικούς τελεστές θέσης και ορμής.

Η σχέση αβεβαιότητας ισχύει για μεγέθη που μετρούνται στον ίδιο άξονα, για παράδειγμα για το ζευγάρι $\Delta x$ , $\Delta p_{x}$ . Όλα τα υπόλοιπα ζεύγη μεγεθών σε διαφορετικούς άξονες μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια.

Υπάρχουν και άλλες εκφράσεις της αρχής της απροδιοριστίας. Μια από αυτές είναι η εξής:

\Delta E\cdot \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει όριο στην ακρίβεια που μπορούμε να μετρήσουμε την ενέργεια $\Delta E$ ενός συστήματος, αν το σύστημα παραμένει σε μια δεδομένη ενεργειακή κατάσταση για χρόνο $\Delta t$ .

Θεμελιώδη αποτελέσματα για την απόδειξη των παραπάνω ανισοτήτων είναι αυτά του W. Heisenberg^[1]^[2] σχετικά με τους μεταθέτες των τελεστών $q,p$ (θέση $x$ με τον συμβολισμό της αναλυτικής μηχανικής, ορμή) και $E,t$ (ενέργεια και χρόνος):

pq-qp={\frac {h}{2\pi i}}

και

Et-tE={\frac {h}{2\pi i}}

Το θεώρημα

Περιγραφή και απόδειξη

Από μαθηματικής σκοπιάς η αρχή της απροσδιοριστίας ισοδυναμεί με ένα θεώρημα^[3] για τους τελεστές.

Συγκεκριμένα έστω $A$ και $B$ αυτοσυζυγείς τελεστές (δηλαδή $A^{+}=A$ ). Οι τελεστές στην κβαντομηχανική αντιστοιχούν στις φυσικές ποσότητες όπως η θέση, η ορμή, η ενέργεια, η στροφορμή μιας κατάστασης. Αν έχουμε μια κατάσταση $\psi$ (ή επίσης γράφεται $|\psi \rangle$ ). Τότε η "μέση τιμή" του μεγέθους υπολογίζεται ως $(\psi ,A\psi )$ (εσωτερικό γινόμενο της κατάστασης $\psi$ με την κατάσταση $A\psi$ ) πράγμα που γράφεται πιο φυσικά ως $\langle \psi |A|\psi \rangle$ . Δηλαδή:

\langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle

Τώρα ο τελεστής $A_{0}=A-\langle A\rangle$ έχει μέση τιμή μηδέν. Μπορούμε να ορίσουμε την αβεβαιότητα του $A$ ως:

\Delta A={\sqrt {\langle A_{o}^{2}\rangle }}={\sqrt {\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}

Μια άλλη χρήσιμη έννοια είναι ο μεταθέτης δύο τελεστών $A,B$ , που γράφεται ως $[A,B]=AB-BA$ . Από κβαντομηχανικής άποψης το $AB$ σημαίνει ότι πρώτα κάνουμε την μέτρηση του $B$ και μετά του $A$ ενώ $BA$ σημαίνει πρώτα του $A$ και μετά του $B$ . Δηλαδή η σειρά με την οποία γίνεται η μέτρηση ενός τελεστή επί μιας κατάστασης $\psi$ , είναι αυτή με την οποία δρα ο τελεστής στην κατάσταση: $BA\psi =B(A\psi )=B\phi$ .
Μπορεί να δείξει κανείς πως το μέτρο της μέσης τιμής δύο τελεστών $A,B$ σχετίζεται με τις μέσες τιμές των τελεστών $A^{2},B^{2}$ με την ακόλουθη σχέση:

|\langle AB\rangle |\leq {\sqrt {\langle A^{2}\rangle \langle B^{2}\rangle }}

Ακόμη, βάσει της παραπάνω σχέσης μπορεί να δείξει κανείς την ακόλουθη σχέση μεταξύ του μέτρου της μέσης τιμής ενός μεταθέτη $[A,B]$ και της διασποράς του κάθε τελεστή:

|\langle [A,B]\rangle |=|\langle [A_{o},B_{o}]\rangle |\leq 2|\langle A_{o}B_{o}\rangle |\leq 2\Delta A\cdot \Delta B

Αυτό μας δίνει τον γενικό τύπο της αρχής της αβεβαιότητας

\Delta A\cdot \Delta B\geq {\frac {1}{2}}|\langle [A,B]\rangle |

Εφαρμογή στην ανισότητα θέσης ορμής

Χρησιμοποιώντας το παραπάνω θεώρημα, και την μεταθετική σχέση $xp-px=h/(2\pi i)$ παίρνουμε:

(\Delta x)(\Delta p)\geq {\frac {1}{2}}|\langle [x,p]\rangle |={\frac {1}{2}}|\langle xp-px\rangle |={\frac {1}{2}}{\Big |}{\Big \langle }{\frac {h}{2\pi i}}{\Big \rangle }{\Big |}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {h}{2\pi }}={\frac {\hbar }{2}}

Όμοια δείχνει κανείς και την ανισότητα μεταξύ στις αβεβαιότητες ενέργειας και χρόνου.

Λανθασμένη γενίκευση

Λανθασμένα πολλές φορές, γενικεύεται η αρχή της απροδιοριστίας σε φαινόμενα της καθημερινής ζωής, όπως και η θεωρία της σχετικότητας, στο σύνολο της ή σπανιότερα σε τμήματά της. Τόσο η αρχή της απροσδιοριστίας, όσο και η θεωρία της σχετικότητας, αναφέρονται σε φαινόμενα που συμβαίνουν σε σχετικά πολύ μικρά μήκη ή πολύ μεγάλες ταχύτητες, αντίστοιχα. Αυτό έχει ως συνέπεια η ισχύς τους να περιορίζεται κατά πολύ μεγάλο βαθμό στην κλασσική φυσική, η οποία και περιγράφει τα φαινόμενα που γίνονται αντιληπτά από εμάς καθημερινά. Ειδικότερα για την αρχή της απροσδιοριστίας, αυτό μπορεί να γίνει άμεσα αντιληπτό από την μαθηματική έκφρασή της: η σταθερά $\hbar$ έχει πολύ μικρή τιμή (1,054 572 66 × 10⁻³⁴ ± 66 J·s) συγκρινόμενη με τις αποστάσεις και τις ταχύτητες που μπορούμε να μετρήσουμε πρακτικά έξω από το χώρο του εργαστηρίου.

Βιβλιογραφία

"Physics For Scientists & Engineers, Τόμος IV, Σύγχρονη Φυσική", Third Edition, Raymond A. Serway, Μεταφρ. Λεωνίδα Κ. Ρεσβάνη
«Κβαντομηχανική Ι», Σ. Η. Μάσεν, 2011
«Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική», Α. Στρέκλας, 2005