Δέλτα του Κρόνεκερ

Στα μαθηματικά, το δέλτα του Κρόνεκερ (ή αλλιώς σύμβολο του Κρόνεκερ) είναι η διακριτή εκδοχή της συνάρτησης δέλτα του Ντιράκ.

Αυστηρότερα, το δέλτα του Κρόνεκερ ορίζεται με τον εξής τρόπο:

$\delta _{ij}={\begin{cases}0,&{\text{αν }}i\neq j,\\1,&{\text{αν }}i=j,\end{cases}}$

για φυσικούς αριθμούς $i,j$.

Μιγαδική ανάλυση

Στα πλαίσια της μιγαδικής ανάλυσης, το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή του παρακάτω ολοκληρώματος βρόχου:

$\delta _{mn}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{m-n-1}dz.$

όπου $m$, $n$ ακέραιοι και $i$ η φανταστική μονάδα. Ο βρόχος $C$ ταυτίζεται με τον μοναδιαίο κύκλο.

Γραμμική άλγεβρα

Στα πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας, το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός συμμετρικού πίνακα διάστασης $N\times N$ όπου $N$ είναι ο συνολικός αριθμός των (θετικών) ακεραίων τιμών που μπορούν να πάρουν οι δείκτες.

Συγκεκριμένα, για $i,j=1,2,3$ τότε το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός πίνακα $3\times 3$:

$\delta _{ij}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Στην αναπαράσταση πίνακα λοιπόν, το δέλτα του Κρόνεκερ ταυτίζεται με τον μοναδιαίο πίνακα.

Ιδιότητες

Σε τρεις διαστάσεις ($i,j=1,2,3$) το δέλτα του Κρόνεκερ παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες:

• $\delta _{ii}=3$
• $\delta _{ij}\epsilon _{ijk}=0$
• $\epsilon _{ipq}\epsilon _{jpq}=2\delta _{ij}$
• $\epsilon _{ijk}\epsilon _{pqk}=\delta _{ip}\delta _{jq}-\delta _{iq}\delta _{jp}$

όπου $\epsilon _{ijk}$ το σύμβολο μετάθεσης. Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις έγινε χρήση της σύμβασης άθροισης του Αϊνστάιν.