Διάμεσος (γεωμετρία)

ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει την μία κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς

Στη γεωμετρία, η διάμεσος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά. Συνήθως οι διάμεσοι συμβολίζονται ως ή αντίστοιχα.

Διάμεσος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην κορυφή (και το μέσο της ).
Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κέντρο βάρους του.

Στην περίπτωση των ισοσκελών και ισόπλευρων τριγώνων, η διάμεσος είναι και διχοτόμος και ύψος μίας κορυφής, της οποίας οι δύο προσκείμενες πλευρές της είναι ίσες.

Βαρύκεντρο

Επεξεργασία

Θεώρημα — Σε ένα τρίγωνο  , οι τρεις διάμεσοι   διέρχονται από το ίδιο σημείο  , το βαρύκεντροκέντρο βάρους) του τριγώνου. Επιπλέον ισχύει ότι  .[1][1]: 142-143 

1ο Θεώρημα Διαμέσων

Επεξεργασία

Θεώρημα — Σε ένα τρίγωνο   με διάμεσο την  , ισχύει ότι[2]:41[1]: 372 [3]:121

 .

Πόρισμα — Το μήκος της διαμέσου   δίνεται από τον τύπο

 ,

και αντίστοιχα

  και  .

2ο Θεώρημα Διαμέσων

Επεξεργασία

Θεώρημα — Σε ένα τρίγωνο   με  , διάμεσο την   και ύψος  , ισχύει ότι[2]: 41 [1]: 373 [3]: 122 

 .

Ιδιότητες

Επεξεργασία
  • Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα με ίσο εμβαδόν.
  • Για τις διαμέσους   ενός τριγώνου, ισχύουν οι εξής τριγωνομετρικές σχέσεις[4]:261-262[5]:71[6]:127
 ,   και  .
  • Σε κάθε τρίγωνο  ,[7][5]: 42 
 ,
και
 .

Ανισοτικές Σχέσεις

Επεξεργασία
  • Σε κάθε τρίγωνο  ,[7]
 .
  • Αν  , τότε
 .
  • Αν  , τότε
 .
  • Αν   οξεία γωνία, τότε
 .

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Επεξεργασία

Η διάμεσος κατασκευάζεται με τον ίδιο τρόπου που βρίσκουμε το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή κατασκευάζοντας την μεσοκάθετο):

  1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα   και   και ακτίνα  .
  2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής   και   των δύο κύκλων.
  3. Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα  .
  4. Βρίσκουμε το σημείο τομής   του   με το  .
  5. Ενώνουμε τα σημεία   και  

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα. 
  2. 2,0 2,1 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. 
  3. 3,0 3,1 Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. 
  4. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  5. 5,0 5,1 Παπατριανταφύλλου, Ε. (1974). Μαθηματικά ΣΤ' Γυμνασίου Θετικής Κατευθύνσεως: Τριγωνομετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  6. Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  7. 7,0 7,1 Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Επεξεργασία