Διωνυμικό θεώρημα

Το διωνυμικό θεώρημα είναι ένα θεώρημα στην άλγεβρα, για το ανάπτυγμα του αθροίσματος δύο όρων υψωμένο στην $\nu$-οστή δύναμη. Πιο συγκεκριμένα, για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό $\nu \in \mathbb {N}$ και οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $x,y\in \mathbb {R}$, ισχύει ότι

$(x+y)^{\nu }={\binom {\nu }{0}}x^{\nu }+{\binom {\nu }{1}}x^{\nu -1}y+\ldots +{\binom {\nu }{\nu -1}}xy^{\nu -1}+{\binom {\nu }{\nu }}y^{\nu }=\sum _{\kappa =0}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}x^{\kappa }y^{\nu -\kappa },$

όπου ${\tbinom {\nu }{\kappa }}={\tfrac {\nu !}{\kappa !(\nu -\kappa )!}}$ είναι οι διωνυμικοί συντελεστές.

Για παράδειγμα, για $\nu =2,3,4$ παίρνουμε

$(x+y)^{2}={\binom {2}{0}}x^{2}+{\binom {2}{1}}xy+{\binom {2}{2}}y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},$

$(x+y)^{3}={\binom {3}{0}}x^{3}+{\binom {3}{1}}x^{2}y+{\binom {3}{2}}xy^{2}+{\binom {3}{3}}y^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},$

$(x+y)^{4}={\binom {4}{0}}x^{4}+{\binom {4}{1}}x^{3}y+{\binom {4}{2}}x^{2}y^{2}+{\binom {4}{3}}xy^{3}+{\binom {4}{4}}y^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$

Αποδείξεις

Απόδειξη με επαγωγή

Θα αποδείξουμε το διωνυμικό θεώρημα με χρήση της μαθηματικής επαγωγής στους φυσικούς αριθμούς $\nu$.

Βασική Περίπτωση: Για $\nu =1$, έχουμε ότι ${\tbinom {\nu }{0}}={\tbinom {\nu }{1}}=1$, και επομένως

$(x+y)^{1}=x+y={\binom {1}{0}}x+{\binom {1}{1}}y$.

Επαγωγική Περίπτωση: Έστω ότι ισχύει για $\nu =\lambda$, δηλαδή

$(x+y)^{\lambda }=\sum _{\kappa =0}^{\lambda }{\binom {\lambda }{\kappa }}x^{\kappa }y^{\nu -\kappa }.$

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για $\nu =\lambda +1$. Έχουμε ότι

${\begin{aligned}(x+y)^{\lambda +1}&=(x+y)\cdot (x+y)^{\lambda }\\&=(x+y)\cdot \sum _{\kappa =0}^{\lambda }{\binom {\lambda }{\kappa }}x^{\kappa }y^{\lambda -\kappa }\\&=\sum _{\kappa =0}^{\lambda }{\binom {\lambda }{\kappa }}x^{\kappa +1}y^{\lambda -\kappa }+\sum _{\kappa =0}^{\lambda }{\binom {\lambda }{\kappa }}x^{\kappa }y^{\lambda -\kappa +1}\end{aligned}}$

Αλλάζοντας τα όρια του πρώτου αθροίσματος

${\begin{aligned}{\phantom {(x+y)^{\lambda +1}}}&=\sum _{\kappa =1}^{\lambda +1}{\binom {\lambda }{\kappa -1}}x^{\kappa }y^{\lambda -\kappa +1}+\sum _{\kappa =0}^{\lambda }{\binom {\lambda }{\kappa }}x^{\kappa }y^{\lambda -\kappa +1}\end{aligned}}$

Μετακινώντας εκτός αθροίσματος τον τελευταίο όρο του πρώτου αθροίσματος και τον πρώτο όρο του δεύτερου αθροίσματος,

${\begin{aligned}{\phantom {(x+y)^{\lambda +1}}}&={\binom {\lambda }{\lambda }}x^{\lambda +1}y^{0}+\sum _{\kappa =1}^{\lambda }{\binom {\lambda }{\kappa -1}}x^{\kappa }y^{\lambda -\kappa +1}+\sum _{\kappa =1}^{\lambda }{\binom {\lambda }{\kappa }}x^{\kappa }y^{\lambda -\kappa +1}+{\binom {\lambda }{0}}x^{0}y^{\lambda -0+1}\end{aligned}}$

Χρησιμοποιώντας ότι ${\tbinom {\lambda }{\lambda }}={\tbinom {\lambda }{0}}=1$,

${\begin{aligned}{\phantom {(x+y)^{\lambda +1}}}&=x^{\lambda +1}+\sum _{\kappa =1}^{\lambda }{\binom {\lambda }{\kappa -1}}x^{\kappa }y^{\lambda -\kappa +1}+\sum _{\kappa =1}^{\lambda }{\binom {\lambda }{\kappa }}x^{\kappa }y^{\lambda -\kappa +1}+y^{\lambda +1}\end{aligned}}$

Ενώνοντας τα δύο αθροίσματα,

${\begin{aligned}{\phantom {(x+y)^{\lambda +1}}}&=x^{\lambda +1}+\sum _{\kappa =1}^{\lambda }\left({\binom {\lambda }{\kappa -1}}+{\binom {\lambda }{\kappa }}\right)\cdot x^{\kappa }y^{\lambda -\kappa +1}+y^{\lambda +1}\end{aligned}}$

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των διωνυμικών συντελεστών ${\tbinom {\lambda +1}{\kappa }}={\tbinom {\lambda }{\kappa -1}}+{\tbinom {\lambda }{\kappa }},$

${\begin{aligned}{\phantom {(x+y)^{\lambda +1}}}&=x^{\lambda +1}+\sum _{\kappa =1}^{\lambda }{\binom {\lambda +1}{\kappa }}\cdot x^{\kappa }y^{(\lambda +1)-\kappa }+y^{\lambda +1}\end{aligned}}$

Τέλος, χρησιμοποιώντας ότι ${\tbinom {\lambda +1}{\lambda +1}}={\tbinom {\lambda +1}{0}}=1$,

${\begin{aligned}{\phantom {(x+y)^{\lambda +1}}}&=\sum _{\kappa =0}^{\lambda +1}{\binom {\lambda +1}{\kappa }}\cdot x^{\kappa }y^{(\lambda +1)-\kappa }\end{aligned}}$

Συνεπώς, ισχύει και για $\nu =\lambda +1$ και από την μαθηματική επαγωγή, για όλους τους φυσικούς αριθμούς $\nu$.

Συνδυαστική απόδειξη

Παρατηρήστε ότι αναπτύσσοντας το γινόμενο $(x+y)^{\nu }=(x+y)\cdot \ldots \cdot (x+y)$, εμφανίζονται όροι της μορφής $x^{\kappa }y^{\nu -\kappa }$ για κάποιον φυσικό αριθμό $0\leq \kappa \leq \nu$. Η ιδέα για την συνδυαστική απόδειξη είναι να μετρήσουμε πόσες φορές εμφανίζεται κάθε τέτοιος όρος.

Για παράδειγμα, για $\nu =2$, έχουμε

$({\color {red}x}+{\color {blue}y})\cdot ({\color {red}x}+{\color {blue}y})={\color {red}x}{\color {red}x}+{\color {red}x}{\color {blue}y}+{\color {blue}y}{\color {red}x}+{\color {blue}y}{\color {blue}y}={\color {red}x^{2}}+2{\color {red}x}{\color {blue}y}+{\color {blue}y^{2}},$

και για $\nu =3$, έχουμε

$({\color {red}x}+{\color {blue}y})\cdot ({\color {red}x}+{\color {blue}y})\cdot ({\color {red}x}+{\color {blue}y})={\color {red}x}{\color {red}x}{\color {red}x}+{\color {red}x}{\color {red}x}{\color {blue}y}+{\color {red}x}{\color {blue}y}{\color {red}x}+{\color {red}x}{\color {blue}y}{\color {blue}y}+{\color {blue}y}{\color {red}x}{\color {red}x}+{\color {blue}y}{\color {red}x}{\color {blue}y}+{\color {blue}y}{\color {blue}y}{\color {red}x}+{\color {blue}y}{\color {blue}y}{\color {blue}y}={\color {red}x^{3}}+3{\color {red}x^{2}}{\color {blue}y}+3{\color {red}x}{\color {blue}y^{2}}+{\color {blue}y^{3}},$

Άρα θέλουμε να μετρήσουμε το πλήθος των ακολουθιών μήκους $\nu$ αποτελούμενους από $\kappa$ όρους ${\color {red}x}$ και $\nu -\kappa$ όρους ${\color {blue}y}$. Από τον συνδυαστικό ορισμό του διωνυμικού συντελεστή, υπάρχουν ${\tbinom {\nu }{\kappa }}$ τέτοιοι όροι. Συνεπώς,

$(x+y)^{\nu }=\sum _{\kappa =0}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}x^{\kappa }y^{\nu -\kappa }.$

Εφαρμογές

Απόδειξη διωνυμικών ταυτοτήτων

Το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απόδειξη ταυτοτήτων.

Παράδειγμα 1ο

Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό $\nu \in \mathbb {N}$, ισχύει ότι

$\sum _{\kappa =0}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}=2^{\nu }$

Απόδειξη  

Θέτοντας $x=y=1$ στο διωνυμικό θεώρημα, λαμβάνουμε

$2^{\nu }=(1+1)^{\nu }=\sum _{\kappa =0}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}1^{\kappa }\cdot 1^{\nu -\kappa }=\sum _{\kappa =0}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}.$

Παράδειγμα 2ο

Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό $\nu \in \mathbb {N}$, ισχύει ότι

$\sum _{\begin{array}{c}0\leq \kappa \leq \nu \\\kappa \colon {\text{μονός}}\end{array}}{\binom {\nu }{\kappa }}=\sum _{\begin{array}{c}0\leq \kappa \leq \nu \\\kappa \colon {\text{ζυγός}}\end{array}}{\binom {\nu }{\kappa }}$

Απόδειξη  

Θέτοντας $x=-1$ και $y=1$ στο διωνυμικό θεώρημα, λαμβάνουμε

$0=(1-1)^{\nu }=\sum _{\kappa =0}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}(-1)^{\kappa }\cdot 1^{\nu -\kappa }=\sum _{\kappa \colon {\text{ζυγός}}}{\binom {\nu }{\kappa }}-\sum _{\kappa \colon {\text{μονός}}}{\binom {\nu }{\kappa }}.$

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε το ζητούμενο.

Παράδειγμα 3ο: Ταυτότητα Βαντερμόντ

Για οποιοσδήποτε φυσικούς αριθμούς $\nu ,\mu \in \mathbb {N}$ και $0\leq \kappa \leq \min(\nu ,\mu )$, έχουμε ότι

${\binom {\nu +\mu }{\kappa }}=\sum _{\lambda =0}^{\kappa }{\binom {\nu }{\lambda }}{\binom {\mu }{\kappa -\lambda }}.$

Απόδειξη  

Θεωρούμε το πολυώνυμο $p(x)=(x+1)^{\nu +\mu }$. Από το διωνυμικό θεώρημα, ο συντελεστής του $x^{\kappa }$ είναι ${\tbinom {\nu +\mu }{\kappa }}$. Γράφοντας το $p(x)$ ως:

$p(x)=(x+1)^{\nu }\cdot (x+1)^{\mu }=\left(\sum _{\lambda _{1}=0}^{\nu }{\binom {\nu }{\lambda _{1}}}x^{\lambda _{1}}\right)\cdot \left(\sum _{\lambda _{2}=0}^{\mu }{\binom {\mu }{\lambda _{2}}}x^{\lambda _{2}}\right),$

o όρος $x^{\kappa }$ προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των $x^{\lambda _{1}}$ και $x^{\lambda _{2}}$ με $\lambda _{1}+\lambda _{2}=\kappa$. Συνεπώς, ο συντελεστής του $x^{\kappa }$ δίνεται από τον άθροισμα

$\sum _{\lambda _{1}=0}^{\kappa }{\binom {\nu }{\lambda _{1}}}{\binom {\mu }{\kappa -\lambda _{1}}}.$

Από το διωνυμικό θεώρημα στο $(x+1)^{\nu +\mu }$ αυτός ο συντελεστής είναι ίσος με ${\tbinom {\nu +\mu }{\kappa }}$, και έπεται το ζητούμενο.

Τριγωνομετρικοί τύποι

Το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να γραφτεί το $\sin(\nu \theta )$ και $\cos(\nu \theta )$, για $\nu$ φυσικό αριθμό, ως πολυώνυμο των $\sin \theta$ και $\cos \theta$. Πιο παράδειγμα,

$\cos(3\theta )=\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \cdot \sin ^{2}\theta \quad$ και $\quad \sin(3\theta )=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \cdot \sin \theta$.

Πιο γενικά, για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό $\nu$ και οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό $\theta$,

$\cos(\nu \theta )=\sum _{\kappa \colon {\text{ζυγός}}}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}(-1)^{\kappa /2}\cdot (\cos \theta )^{\nu -\kappa }\cdot (\sin \theta )^{\kappa }\quad$ και $\quad \sin(\nu \theta )=\sum _{\kappa \colon {\text{μονός}}}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}(-1)^{(\kappa -1)/2}\cdot (\cos \theta )^{\nu -\kappa }\cdot (\sin \theta )^{\kappa }.$

Απόδειξη  

Ο τύπος του Όιλερ μας δίνει ότι

$e^{i\nu \theta }=\cos(\nu \theta )+i\sin(\nu \theta ).$

(1)

Το αριστερό μέλος, μπορεί να γραφτεί ως εξής

$e^{i\nu \theta }=(e^{i\theta })^{\nu }=(\cos \theta +i\sin \theta )^{\nu }=\sum _{\kappa =0}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}(\cos \theta )^{\nu -\kappa }(i\sin \theta )^{\kappa }.$

Ο όρος $i^{\kappa }$ είναι πραγματικός όταν το $\kappa$ είναι ζυγός. Επομένως έχουμε,

$e^{i\nu \theta }=\sum _{\kappa \colon {\text{ζυγός}}}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}(-1)^{\kappa /2}\cdot (\cos \theta )^{\nu -\kappa }\cdot (\sin \theta )^{\kappa }+i\cdot \sum _{\kappa \colon {\text{μονός}}}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}(-1)^{(\kappa -1)/2}\cdot (\cos \theta )^{\nu -\kappa }\cdot (\sin \theta )^{\kappa }$

Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη στην (1) λαμβάνουμε τις ταυτότητες.

Διωνυμική κατανομή

Στην διωνυμική κατανομή, το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξουμε ότι η $f(\kappa )={\tbinom {\nu }{\kappa }}p^{\kappa }\cdot (1-p)^{\nu -\kappa }$ για $0\leq \kappa \leq \nu$ είναι συνάρτηση πιθανότητας. Πιο συγκεκριμένα, θέτοντας $x=p$ και $y=1-p$, έχουμε ότι

$1=1^{\nu }=(p+(1-p))^{\nu }=\sum _{\kappa =0}^{\nu }{\binom {\nu }{\kappa }}p^{\kappa }\cdot (1-p)^{\nu -\kappa }=\sum _{\kappa =0}^{\nu }f(\kappa ).$

Άλλες εφαρμογές

• Στην απόδειξη της ειδική περίπτωσης της ανισότητας Μπερνούλι.
• Στον ορισμό της μαθηματικής σταθεράς e.
• Στην απόδειξη του μικρού θεωρήματος του Φερμά.

Επεκτάσεις

Αντιμεταθετικός δακτύλιος

Στις παραπάνω αποδείξεις χρησιμοποιήσαμε μόνο την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού και την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Επομένως, το διωνυμικό θεώρημα ισχύει για κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο (π.χ. για τους μιγαδικούς αριθμούς).

Πολυωνυμικό θεώρημα

Το πολυωνυμικό θεώρημα γενικεύει το διωνυμικό θεώρημα, θεωρώντας πάνω από δύο όρους στην βάση, π.χ. $(x+y+z)^{\nu }$.

Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς $\nu ,\mu$ και πραγματικούς αριθμούς $x_{1},\ldots ,x_{\mu }$, έχουμε ότι

$(x_{1}+\ldots +x_{\mu })^{\nu }=\sum _{\begin{array}{c}0\leq \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{\mu }\leq \nu \\\kappa _{1}+\ldots +\kappa _{\mu }=\nu \end{array}}{\binom {\nu }{\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{\mu }}}\cdot x_{1}^{\kappa _{1}}\cdot \ldots \cdot x_{\mu }^{\kappa _{\mu }},$

όπου ${\tbinom {\nu }{\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{\mu }}}={\tfrac {\nu !}{\kappa _{1}!\cdot \ldots \cdot \kappa _{\mu }!}}$ είναι οι πολυωνυμικοί συντελεστές.

Η ιδέα της παραπάνω συνδυαστικής απόδειξης μπορεί να εφαρμοστεί και εδώ, αυτή την φορά μετρώντας όρους της μορφής $x_{1}^{\kappa _{1}}\cdot \ldots \cdot x_{\mu }^{\kappa _{\mu }}$, με $x_{\kappa _{1}}+\ldots +x_{\kappa _{\mu }}=\nu$. Για παράδειγμα,

${\begin{aligned}({\color {red}x}+{\color {blue}y}+{\color {green}z})\cdot ({\color {red}x}+{\color {blue}y}+{\color {green}z})&={\color {red}x}{\color {red}x}+{\color {red}x}{\color {blue}y}+{\color {red}x}{\color {green}z}+{\color {blue}y}{\color {red}x}+{\color {blue}y}{\color {blue}y}+{\color {blue}y}{\color {green}z}+{\color {green}z}{\color {red}x}+{\color {green}z}{\color {blue}y}+{\color {green}z}{\color {green}z}\\&={\tbinom {2}{2,0,0}}\cdot {\color {red}x^{2}}+{\tbinom {2}{0,2,0}}\cdot {\color {blue}y^{2}}+{\tbinom {2}{0,0,2}}\cdot {\color {green}z^{2}}+{\tbinom {2}{1,1,0}}\cdot {\color {red}x}{\color {blue}y}+{\tbinom {2}{1,0,1}}\cdot {\color {red}x}{\color {green}z}+{\tbinom {2}{0,1,1}}\cdot {\color {blue}y}{\color {green}z}.\end{aligned}}$

Διωνυμική σειρά

Η διωνυμική σειρά δίνει ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό $\alpha \in \mathbb {C}$ και $x\in \mathbb {C}$ με $|x|<1$,

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }$,

με τους γενικευμένους διωνυμικούς συντελεστές

${\binom {\alpha }{\nu }}:=\prod _{\kappa =1}^{\nu }{\frac {\alpha -\kappa +1}{\kappa }}.$

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί συνδεσμοι

• Διωνυμικό θεώρημα: Αποδείξεις και Εφαρμογές
• Ταμπλό Galton

Ελληνικά άρθρα

• Β. Ν. Γεωργίου (1982). «Το διωνυμικό θεώρημα και τα "προβλήματά του"». Ευκλείδης Β΄ (1): 23-24. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2729. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Moriarty, J.; Ekhao, Shalom B. (Ιανουαρίου 2001). «A Treatise on the Binomial Theorem». The Mathematical Intelligencer 23 (3): 70–72. doi:10.1007/BF03026860. 
• Carr, A. J. (Δεκεμβρίου 1953). «2359. The binomial theorem for any index». The Mathematical Gazette 37 (322): 266–266. doi:10.2307/3610041. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1953-12_37_322/page/266. 
• Mountford, David (Μαρτίου 1980). «64.1 A matrix approach to the binomial theorem». The Mathematical Gazette 64 (427): 49–51. doi:10.2307/3615887. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1980-03_64_427/page/49. 
• Barnard, S. (Δεκεμβρίου 1933). «A Proof of the Binomial Theorem». The Mathematical Gazette 17 (226): 294–295. doi:10.2307/3606500. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1933-12_17_226/page/294. 
• Coolidge, J. L. (Μαρτίου 1949). «The Story of the Binomial Theorem». The American Mathematical Monthly 56 (3): 147–157. doi:10.1080/00029890.1949.11999350. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1949-03_56_3/page/147. 
• Zerr, G. B. M. (Αυγούστου 1896). «The Binomial Theorem». The American Mathematical Monthly 3 (8-9): 203–206. doi:10.1080/00029890.1896.11998811. 
• Ramras, Mark (Μαρτίου 2003). «A Codeword Proof of the Binomial Theorem». The College Mathematics Journal 34 (2): 144. doi:10.2307/3595790. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2003-03_34_2/page/144. 

Δείτε επίσης

• Διωνυμικός συντελεστής
• Διωνυμική κατανομή
• Διωνυμική σειρά
• Διωνυμικός σωρός