Το διωνυμικό θεώρημα είναι ένα θεώρημα στην άλγεβρα, για το ανάπτυγμα του αθροίσματος δύο όρων υψωμένο στην -οστή δύναμη. Πιο συγκεκριμένα, για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό και οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς , ισχύει ότι[1]:162[2]:88

όπου είναι οι διωνυμικοί συντελεστές.

Για παράδειγμα, για παίρνουμε

ΑποδείξειςΕπεξεργασία

Απόδειξη με επαγωγήΕπεξεργασία

Θα αποδείξουμε το διωνυμικό θεώρημα με χρήση της μαθηματικής επαγωγής στους φυσικούς αριθμούς  .

Βασική Περίπτωση: Για  , έχουμε ότι  , και επομένως

 .

Επαγωγική Περίπτωση: Έστω ότι ισχύει για  , δηλαδή

 

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για  . Έχουμε ότι

 

Αλλάζοντας τα όρια του πρώτου αθροίσματος

 

Μετακινώντας εκτός αθροίσματος τον τελευταίο όρο του πρώτου αθροίσματος και τον πρώτο όρο του δεύτερου αθροίσματος,

 

Χρησιμοποιώντας ότι  ,

 

Ενώνοντας τα δύο αθροίσματα,

 

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των διωνυμικών συντελεστών  

 

Τέλος, χρησιμοποιώντας ότι  ,

 

Συνεπώς, ισχύει και για   και από την μαθηματική επαγωγή, για όλους τους φυσικούς αριθμούς  .

Συνδυαστική απόδειξηΕπεξεργασία

Παρατηρήστε ότι αναπτύσσοντας το γινόμενο  , εμφανίζονται όροι της μορφής   για κάποιον φυσικό αριθμό  . Η ιδέα για την συνδυαστική απόδειξη είναι να μετρήσουμε πόσες φορές εμφανίζεται κάθε τέτοιος όρος.

Για παράδειγμα, για  , έχουμε

 

και για  , έχουμε

 

Άρα θέλουμε να μετρήσουμε το πλήθος των ακολουθιών μήκους   αποτελούμενους από   όρους   και   όρους  . Από τον συνδυαστικό ορισμό του διωνυμικού συντελεστή, υπάρχουν   τέτοιοι όροι. Συνεπώς,

 

ΕφαρμογέςΕπεξεργασία

Απόδειξη διωνυμικών ταυτοτήτωνΕπεξεργασία

Το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απόδειξη ταυτοτήτων.

Παράδειγμα 1οΕπεξεργασία

Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό  , ισχύει ότι[3]:15[2]:89

 

Παράδειγμα 2οΕπεξεργασία

Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό  , ισχύει ότι[3]:15[2]:89

 

Παράδειγμα 3ο: Ταυτότητα ΒαντερμόντεΕπεξεργασία

Για οποιοσδήποτε φυσικούς αριθμούς   και  , έχουμε ότι[1]:168[4]:31

 

Τριγωνομετρικοί τύποιΕπεξεργασία

Το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να γραφτεί το   και  , για   φυσικό αριθμό, ως πολυώνυμο των   και  . Πιο παράδειγμα,

  και  .

Πιο γενικά, για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό   και οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό  ,[5]:31-32

  και  

Διωνυμική κατανομήΕπεξεργασία

Στην διωνυμική κατανομή, το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξουμε ότι η   για   είναι συνάρτηση πιθανότητας. Πιο συγκεκριμένα, θέτοντας   και  , έχουμε ότι

 

Άλλες εφαρμογέςΕπεξεργασία

ΕπεκτάσειςΕπεξεργασία

Αντιμεταθετικός δακτύλιοςΕπεξεργασία

Στις παραπάνω αποδείξεις χρησιμοποιήσαμε μόνο την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού και την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Επομένως, το διωνυμικό θεώρημα ισχύει για κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο (π.χ. για τους μιγαδικούς αριθμούς).[8]

Πολυωνυμικό θεώρημαΕπεξεργασία

Το πολυωνυμικό θεώρημα γενικεύει το διωνυμικό θεώρημα, θεωρώντας πάνω από δύο όρους στην βάση, π.χ.  .

Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς   και πραγματικούς αριθμούς  , έχουμε ότι[1]:168

 

όπου   είναι οι πολυωνυμικοί συντελεστές.[3]:17

Η ιδέα της παραπάνω συνδυαστικής απόδειξης μπορεί να εφαρμοστεί και εδώ, αυτή την φορά μετρώντας όρους της μορφής  , με  . Για παράδειγμα,

 

Διωνυμική σειράΕπεξεργασία

Η διωνυμική σειρά δίνει ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό   και   με  ,[9]:328

 ,

με τους γενικευμένους διωνυμικούς συντελεστές

 

Δείτε επίσηςΕπεξεργασία

ΠαραπομπέςΕπεξεργασία

  1. 1,0 1,1 1,2 Graham, Ronald L.· Knuth, Donald E.· Patashnik, Oren (1997). Concrete mathematics : a foundation for computer science (2η έκδοση). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 9780201558029. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Κολουντζάκης, Μ.· Παπαχριστόδουλος, X. (2015). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 9789606033612. 
  3. 3,0 3,1 3,2 Αθανασιάδης, Χρήστος Α. «Διακριτά Μαθηματικά: Σημειώσεις» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2022. 
  4. Φωτάκης, Δ. «Συνδυαστική Απαρίθµηση» (PDF). Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2022. 
  5. Κολουντζάκης, Μ. «Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές» (PDF). Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2022. 
  6. Μήτσης, Θέμης. «Σημειώσεις για τα μαθήματα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2022. 
  7. Αντωνιάδης, Ιωάννης· Κοντογεώργης, Αριστείδης (2015). Θεωρία Αριθµών και εφαρµογές. ΣΕΑΒ. ISBN 9786188212459. 
  8. Χαραλάμπους, Μ. Γ. «17. Δακτύλιοι». Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2022. 
  9. Αδάμ, Μ.· Ασημάκης, Ν.· Χατζάρας, Ι. (2015). Μαθηματική Ανάλυση. ΣΕΑΒ. ISBN 9789606033926.