Αξιώματα Χίλμπερτ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 14:
==Τα θεωρηματα (ύπαρξης) του Γεωμετρικου Χώρου==
1. θεώρημα
Αν τρία σημεία είναι πάνω σε ευθεία τότε κάθε ένα από αυτά είναι πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα δυο άλλα.
2.θεώρημα
Υπάρχει σημείο που είναι έξω από δοσμένη ευθεία.
3. Θεώρημα
Αν δυο επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο τότε η τομή τους είναι ευθεία.
4. θεώρημα
Αν τέσσερα σημεία δεν είναι πάνω στο αυτό επίπεδο, τότε δεν υπάρχει τριάδα από αυτά που να είναι πάνω σε ευθεία.
5. Θεώρημα
Υπάρχει σημείο έξω από δοσμένο επίπεδο.
6. Θεώρημα
Υπάρχουν δυο ευθείες που δεν είναι πάνω στο ίδιο επίπεδο.
7. Θεώρημα
Υπάρχουν δυο επίπεδα.
8. Θεώρημα
Ευθεία και σημείο έξω από αυτή ορίζουν ακριβώς ένα επίπεδο.
9. θεώρημα
10. θεώρημα 'Αστέρος
Εάν ευθείες τέμνονται ανά δυο και δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, τότε περνούν από το ίδιο σημείο.
11. θεώρημα (Ημιεπίπεδο)
Ας θεωρήσουμε ένα επίπεδο S και μία ευθεία του α. Τα σημεία τα διαφορετικά της ευθείας α να ανήκουν σε δυο υποσύνολα, στο S1 και στο S 2 . Τα υποσύνολα S 1,S 2 τα καθορίζουμε έτσι,
:::Ε1: «Αν Τα σημεία A ανήκει στο S1 Β ανήκει στο S1 το .ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ δεν έχει κοινά σημεία με την α;
:::Ε2 : Αν A ανήκει στο S1 και Γ ανήκει στο S2 τότε το ΑΓ έχει κοινό σημείο με την α. Τα σύνολα S1,α,S2 αποτελούν ένα διαμερισμό του Χ. Τα σημειοσύνολα S1, και. S2 ονομάζονται ανοικτά Ημιεπίπεδα ενώ S1 με την α ή S 2 με την α κλειστά Ημιεπίπεδα με αρχική ευθεία την α και φορέα το S. Τα Ημιεπίπεδα με την αρχική ημιευθεία και τον ίδιο φορέα ονομάζονται αντίθετα.
12. θεώρημα (Θέση σημείου και επιπέδου)
Ας θεωρήσουμε ένα επίπεδο S και ένα σημείο Α τότε Ε1:το Α ανήκει στοS Ε2: το A δεν ανήκει στο S
13. θεώρημα (Ημίχωρος)
Θεωρούμε επίπεδο S τότε και τα σημεία του χώρου διαμερίζονται σε τρία. σύνολαΧ1 Χ2 S:
:::Ε1: Αν τα σημεία {Α,Β}ανήκει στο Χ1, ή Χ 2 το ευθύγραμμο τμήμα AB δεν τέμνει το S και
:::Ε2: Αν Α ανήκει στο Χ1 Γ ανήκει στο Χ2 τότε ΑΓ τομή S={I} έχει ένα κοινό σημείο με το S. (ίχνος ευθείας και επιπέδου).
Ε3: Τα σημειοσύνολα Χ1 Χ2 τα ονομάζουμε ανοιχτούς ημίχωρουs, ενώ τα Χ1 με το S ή Χ2 με το S κλειστούs ημίωρους. Τα σημεία Α,Β λέμε ότι είναι προς το ίδιο μέρος του S ενώ τα Α,Γ από τη μια και την άλλη μεριά του S.
14. θεώρημα (θέση ευθείας και επίπεδου)
Θεωρούμε ευθεία α και επίπεδο S, Τότε,
Γραμμή 50 ⟶ 64 :
E2.: «Αν η ευθεία α και το S.έχουν ένα κοινό σημείο α τομή S ={A} τότε το Α λέγεται κοινό σημείο τής ευθείας με το επίπεδο ή ίχνοs, και θα λέμε ότι ή ευθεία και το επίπεδο τέμνονται.
Ε3: Εάν α τομή S=κενό τότε λέμε ότι ή α είναι παράλληλη στο S . (α// S).
15. θεώρημα (Θέση δυο ευθειών)
Θεωρούμε δυο ευθείες α και β.
:::Ε1: «Αν οι α, β είναι υποσύνολα του ίδιου επιπέδου, τότε λέγονται συνεπίπεδες ή συμβατές» «Άρα ή θα είναι παράλληλές ή θα τέμνονται ή, θα ταυτίζονται»..
:::E2: οι α, β δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και κατά το θεώρημα 9 θα τις λέμε ασύμβατεs ή στρεβλέs.
16. θεώρημα θέση δύο επιπέδων
Έστω δυο επίπεδα P,S.
| |||