Βικιπαίδεια

Συνάρτηση ζήτα Ρήμαν: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
μ Ρομπότ: Τροποποίηση: eo:Rimana ζ funkcio
Oxy86 (συζήτηση | συνεισφορές)
93 επεξεργασίες
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 1:
Η '''ζήτα συνάρτηση ζήτα''' ή '''συνάρτηση ζήτα συνάρτησητου Riemann''', από το όνομα του μαθηματικού [[Μπέρναρντ Ρίμαν]] είναι μια συνάρτηση με ιδιαίτερη σημασία στη [[θεωρία αριθμών]], λόγω της σχέσης της με την κατανομή των [[πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]]. Έχει επίσης εφαρμογές σε άλλα πεδία, όπως η [[φυσική]], η [[θεωρία πιθανοτήτων]] και η εφαρμοσμένη [[στατιστική]].
 
== Ορισμός ==
[[Image:zeta.png|thumb|Η ζήτα συνάρτηση για πραγματικούς μεγαλύτερους του 1.]]
Η '''συνάρτηση ζήτα''' <math>\zeta(s)</math> είναι συνάρτηση μιας [[μιγαδικός αριθμός|μιγαδικής μεταβλητής]] s και ορίζεται από την ακόλουθη άπειρη σειρά, αρκεί ο μιγαδικός αριθμός s να έχει πραγματικό μέρος > 1:
Η ζήτα συνάρτηση ορίζεται για κάθε [[μιγαδικός αριθμός|μιγαδικό αριθμό]] με πραγματικό μέρος > 1 από τη [[σειρά Ντιρισλέ]] (''Dirichlet''):
 
:<math>\zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s}</math>
Γραμμή 9:
Στην περιοχή <math>\{s \in\mathbb{C}: Re(s) > 1\}</math>, αυτή η σειρά συγκλίνει και ορίζει μια συνάρτηση αναλυτική σε αυτή την περιοχή.
 
Η ζήτα συνάρτηση ζήτα συνδέεται με τους [[πρώτος αριθμός|πρώτους αριθμούς]] με την εξής σχέση (''γινόμενο του [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]]''):
:<math>\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}}, \qquad s\in\mathbb{C}: Re(s) > 1,</math>
όπου <math>\mathbb{P}</math> το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.
Γραμμή 15:
== Επεκτάσεις ==
 
Η ζήτα συνάρτηση ζήτα μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά στην περιοχή <math>\{s \in\mathbb{C}: Re(s) > 0\}</math> σε μία [[μερομορφική συνάρτηση]] στην περιοχή αυτή με έναν [[πόλος (μαθηματικά)|πόλο]] τάξήςτάξης 1 στο <math>s=1</math>. Η επεκταμένη αυτή συνάρτηση έιναι:
:<math>\zeta(n)=\frac12+\frac1{s-1}-s\int_{1}^\infty \frac{saw(x)}{x^{s+1}}dx,</math>
όπου <math>saw(x)=x-\lfloor x\rfloor-1/2\quad(</math> με <math>\lfloor x\rfloor</math> δηλώνεται το ακέραιο μέρος του <math>\,x)</math>.
Γραμμή 24:
 
==Σχέσεις==
ΣυναρτηρησιακήΣυναρτησιακή εξίσωση της ζήτα συνάρτησης (functional equation):
:<math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s),\qquad s \in\mathbb{C},</math>
όπου <math>\Gamma\,</math> η [[συνάρτηση γάμμα|γάμμα συνάρτηση]].
 
H γάμμα συνάρτηση γάμμα (ή ακριβέστερα η αναλυτική προέκτασή της στο <math>\mathbb{C}</math>) έχει πόλους τάξήςτάξης 1 στο <math>s=-k,\,k\in\N_0</math>.
Η ζήτα συνάρτηση μηδενίζεται συνεπώς για <math>s=-2k, k\in \N^*</math>.
 
==Υπόθεση του Riemann==
Η υπόθεση του Riemann είναι ένα από τα [[άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών]].
Δηλώνει ότι εκτός από τις τιμές <math>s=-2k, k\in \N^*</math> η ζήτα συνάρτηση ζήτα μηδενίζεται μόνο για <math>\,s</math> με <math>\,Re(s)=1/2</math>.
 
Από την συναρτηρησιακήσυναρτησιακή εξίσωση της ζήτα συνάρτησης ζήτα και τις ιδιότητες της γάμα συνάρτησης γάμα προκύπτει ότι η ζήτα συνάρτηση ζήτα για <math>\,s\in\mathbb{C}</math> με <math>\,Re(s)<0</math> μηδενίζεται μόνο για <math>s=-2k, k\in \N^*</math>.
Στην περιοχή <math>\{s \in\mathbb{C}: Re(s) > 1\}</math> προφανώς δε μηδενίζεται.
Επίσης αποδυκνείεται ότι <math>\zeta(s)\neq0</math> για <math>Re(s)\in\{0,1\}</math>.
Συνεπώς οι υπόλοιπες τιμές που τη μηδενίζουν πρέπει να ικανοποιούν <math>\,0<Re(s)<1</math>.
 
Η υπόθεση του Riemann αποτελεί ένα από τα προβλήματα του ενός εκατομμυρίου δολαρίων.
 
 
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Συνάρτηση_ζήτα_Ρήμαν"