Επεξεργασία σήματος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 31:
Μία εναλλακτική μέθοδος αποσύνθεσης όπως προαναφέρθηκε είναι η αποσύνθεση Φουριέ, με την οποία αναλύουμε ένα οποιοδήποτε περιοδικό σήμα σε άθροισμα απείρων ημιτόνων, όλων των δυνατών συχνοτήτων, τα οποία σχηματίζουν αθροιζόμενα το ολικό αρχικό σήμα. Κάθε ένα από αυτά τα ημίτονα συμμετέχει με διαφορετικό πλάτος στο ολικό σήμα και ο μαθηματικός [[μετασχηματισμός Φουριέ]] μας λέει κατά πόσο συμμετέχει κάθε πιθανή συχνότητα στον σχηματισμό του. Έτσι π.χ. ο μετασχηματισμός Φουριέ ενός απλού ημιτονοειδούς σήματος είναι η κρουστική συνάρτηση, μία ώθηση, καθώς το ημίτονο περιέχει μόνο μία συχνότητα. Η σημασία της αποσύνθεσης Φουριέ έγκειται στο ότι σε ένα ΓΧΑ σύστημα η έξοδος για ημιτονοειδή είσοδο είναι πάλι ένα ημίτονο, ίδιας συχνότητας αλλά διαφορετικού πλάτους και φάσης. Έτσι μπορούμε να εκφράσουμε την έξοδο ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο ως άθροισμα απείρων ημιτόνων, ίδιων συχνοτήτων με τα ημίτονα που αθροιζόμενα παράγουν την είσοδο αλλά με κατάλληλα τροποποιημένη (λόγω της επίδρασης του συστήματος) φάση και πλάτος. Ας σημειωθεί ότι ο μετασχηματισμός Φουριέ απεριοδικών σημάτων είναι συνεχής, δηλαδή το συχνοτικό φάσμα των σημάτων περιέχει μη μετρήσιμα άπειρες διαφορετικές συχνότητες. Αντιθέτως ο μετασχηματισμός Φουριέ [[περίοδος|περιοδικών]] σημάτων (γνωστός και ως ''σειρά Φουριέ'') είναι διακριτός, δηλαδή το φάσμα των σημάτων περιέχει μετρήσιμα άπειρες διαφορετικές συνιστώσες: ένα ημίτονο της θεμελιώδους συχνότητας (η οποία είναι η συχνότητα του αρχικού, ολικού περιοδικού σήματος) και άπειρα ημίτονα που οι συχνότητες τους είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους (''αρμονικές συνιστώσες''). Τον μετασχηματισμό Φουριέ μίας ποσότητας x(t) (αντίστοιχα f(t)) τον συμβολίζουμε με Χ(Ω) (αντίστοιχα F(Ω)), όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή Ω υποδηλώνει πως το πεδίο ορισμού είναι πεδίο συχνοτήτων.
[[Image:Synthesis square.gif|thumb|450px|right|''Διαδοχική πρόσθεση αρμονικών συνιστωσών με τελικό στόχο τη σύνθεση ενός «τετραγωνικού» περιοδικού σήματος'']]
Ο μετασχηματισμός Φουριέ της κρουστικής απόκρισης ενός ΓΧΑ συστήματος ονομάζεται '''[[συνάρτηση μεταφοράς]]''' ή '''απόκριση συχνοτήτων''' του συστήματος. Έχει ιδιαίτερη σημασία γιατί μία ιδιότητα της συνέλιξης είναι ότι στο πεδίο των συχνοτήτων μετατρέπεται σε ένα απλό γινόμενο (επομένως η σχέση y(t)=h(t)*x(t) μετασχηματίζεται στον τύπο Y(Ω)=H(Ω)X(Ω), αν λάβουμε το φάσμα Φουριέ των εμπλεκόμενων ποσοτήτων). Έτσι, αν η συνάρτηση μεταφοράς είναι μηδενική έξω από ένα περιορισμένο διάστημα συχνοτήτων [Ω<sub>1</sub>,Ω<sub>2</sub>], τότε το φάσμα κάθε εξόδου περιέχει τις συχνότητες της αντίστοιχης εισόδου οι οποίες περιέχονται στο διάστημα αυτό και καμία άλλη συχνότητα, καθώς λόγω του πολλαπλασιασμού H(Ω)X(Ω) το φάσμα της εξόδου μηδενίζεται πέραν των ορίων Ω<sub>1</sub> και Ω<sub>2</sub>. Συστήματα τα οποία στην έξοδό τους διατηρούν απαράλλακτες τις συχνοτικές συνιστώσες της εισόδου οι οποίες εμπίπτουν σε ένα διάστημα [Ω<sub>1</sub>
* ''χαμηλοπερατό'', αν Ω<sub>1</sub>=0 και Ω<sub>2</sub><math>\ne \infty</math> (σε αυτήν την περίπτωση το Ω<sub>2</sub> συμβολίζεται ως Ω<sub>c</sub> και λέγεται '''συχνότητα αποκοπής''')
* ''ζωνοπερατό'', αν Ω<sub>1</sub><math>\ne</math>0 και Ω<sub>2</sub><math>\ne \infty</math>
| |||