Θεωρία μέτρου: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
+ παραγρ. ιστορικά στοιχεία |
||
Γραμμή 4:
Ο ''χώρος μέτρου'' (''measure space'') δεν θα πρέπει να συγχέεται με το [[Μετρικός χώρος|μετρικό χώρο]] (''metric space''). Οι δύο έννοιες είναι διαφορετικές. Για παράδειγμα στον ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων το ''μέτρο Lebesgue'' ορίζει το ''χώρο μέτρου'' κατά τον οποίο αποδίδεται ''όγκος'' στα υποσύνολα του <math>\R^3</math>, ενώ η ''ευκλείδεια μετρική'' ορίζει το ''μετρικό χώρο'' που μετράει την ''απόσταση'' μεταξύ δύο σημείων του <math>\R^3</math>.
==Ιστορικά στοιχεία==
Οι μαθηματικοί του 19ου γνώριζαν ότι, στο πεδίο του απειροστικού λογισμού, μπορούσαν να οριστούν συναρτήσεις που συμπεριφέρονταν «περίεργα». Για παράδειγμα [[Συνέχεια συνάρτησης|συνεχείς]] αλλά μη-διαφορίσιμες συναρτήσεις, [[Σειρά|σειρές]] συνεχών συναρτήσεων των οποίων το άθροισμα ήταν ασυνεχής συνάρτηση, συναρτήσεις με [[Φράγμα (μαθηματικά)|φραγμένες]] παραγώγους που δεν είναι [[Ολοκλήρωμα|ολοκληρώσιμες]] κατά [[Μπέρναρντ Ρίμαν|Riemann]], και μη-ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που είναι το [[Όριο (μαθηματικά)|όριο]] ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.
Τα «περίεργα» αυτά παραδείγματα αφορούσαν υποτίθεται αυθαίρετα/αφηρημένα κατασκευασμένες συναρτήσεις, και δεν υπήρχε λόγος ανησυχίας. Οι συναρτήσεις με χρήση στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες επιστήμες αναμένονταν να είναι συνεχείς, παραγωγίσιμες και ολοκληρώσιμες{{fn|1}}.
Ήδη όμως προβλήματα ανεπαρκώς θεμελιωμένης θεωρίας ανέκυπταν σχετικά με συναρτήσεις μεγάλης σπουδαιότητας και με σημαντικές εφαρμογές, όπως στη θεωρία των [[Σειρά Φουριέ|σειρών Fourier]] που αναπτύχθηκε από τους [[Dirichlet]], Riemann, [[Cantor]], [[Jordan]] και άλλους μαθηματικούς του 19ου αιώνα.
Υπό αυτές τις συνθήκες ανέκυψε αναγκαιότητα εξαντλητικής έρευνας και αυστηρής θεμελίωσης των «προβληματικών» σημείων. Η συνεισφορά που έγινε από τους [[Peano]], [[Borel]], Jordan και τελικά με τη γενίκευση της έννοιας του ''μέτρου'' και του ολοκληρώματος από τον [[Ανρί Λεμπέγκ|Henri Lebesgue]] έκανε ακριβώς αυτό, και θεωρείται άμεση συνέχιση του έργου των Riemann, [[Darboux]], Cantor πάνω στη θεωρία συναρτήσεων.
==Παραπομπές==
*{{fnb|1}} Lebesgue, Henri, ''Notice sur les travaux scientifiques de M. Henri Lebesgue''', Edouard Privat, 1922
==Πηγές==
Morris Kline, ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'' (vol. 3), chapt.44
==Εξωτερικοί σύνδεσμοι==
| |||