Υπερβολικές συναρτήσεις: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ +interwikis |
επέκταση, διόρθωση interwiki |
||
Γραμμή 2:
[[Αρχείο:csch sech coth.svg|256px|thumb|Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων <font color=#b30000>csch</font>, <font color=#00b300>sech</font> και <font color=#0000b3>coth</font>]]
Στα [[μαθηματικά]], οι '''υπερβολικές συναρτήσεις''' είναι ανάλογες των συμβατικών [[τριγωνομετρική συνάρτηση|τριγωνομετρικών]] ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το '''υπερβολικό ημίτονο''' (συμβολίζεται ''sinh'') και το '''υπερβολικό συνημίτονο''' (''cosh''), από τις οποίες προκύπτουν η '''υπερβολική εφαπτομένη''' (''tanh'') και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των [[Τριγωνομετρική συνάρτηση|τριγωνομετρικών συναρτήσεων]] με την περιφέρεια.<ref>{{cite book|author= Tom M. Apostol|title=Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Τόμος Ι|publisher=Ατλαντίς|isbn=9600700672}}</ref>
==Αλγεβρικές εκφράσεις==
* Υπερβολικό ημίτονο
:<math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix \!</math>
Γραμμή 19 ⟶ 20 :
Όπου <math>i </math> είναι η [[φανταστική μονάδα]] που ορίζεται ως <math>i ^2=-1</math>.
==Χρήσιμες σχέσεις==
:<math>\sinh(-x) = -\sinh x\,\!</math>
:<math>\cosh(-x) = \cosh x\,\!</math>
Οπότε:
:<math>\tanh(-x) = -\tanh x\,\!</math>
:<math>\coth(-x) = -\coth x\,\!</math>
:<math>\operatorname{sech}(-x) = \operatorname{sech}\, x\,\!</math>
:<math>\operatorname{cosech}(-x) = -\operatorname{cosech}\, x\,\!</math>
Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh ''x'' και sech ''x'' είναι [[άρτια συνάρτηση|άρτιες συναρτήσεις]], ενώ οι υπόλοιπες είναι [[περιττή συνάρτηση|περιττές συναρτήσεις]].
:<math>\operatorname{sech}^{-1}x=\cosh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)</math>
:<math>\operatorname{cosech}^{-1}x=\sinh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)</math>
:<math>\coth ^{-1}x=\tanh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)</math>
Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:
:<math>\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,</math>
η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:
:<math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1\,</math>
Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.<ref>{{cite web
| url = http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicTangent.html
| title = Hyperbolic Tangent
| author = Eric W. Weisstein
| publisher = MathWorld
| date =
| accessdate = 2008-10-20
}}</ref>:
:<math>\frac 1 2 f'' = f^3 - f \qquad ; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0</math>
==Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με [[λογάριθμος|λογάριθμους]]==
:<math>\sinh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)</math>
:<math>\cosh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1</math>
:<math>\tanh ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right);\left| x \right|<1</math>
:<math>\operatorname{sech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right);0<x\le 1</math>
:<math>\operatorname{cosech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)</math>
:<math>\coth ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right);\left| x \right|>1</math>
==[[Παράγωγος|Παράγωγοι]]==
:<math> \frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \,</math>
:<math> \frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x) \,</math>
:<math> \frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \hbox{sech}^2(x) = 1/\cosh^2(x) \,</math> <!-- from: http://www.pen.k12.va.us/Div/Winchester/jhhs/math/lessons/calculus/tableof.html and http://thesaurus.maths.org/mmkb/entry.html?action=entryById&id=2664 -->
:<math> \frac{d}{dx}\coth(x) = 1 - \coth^2(x) = -\hbox{csch}^2(x) = -1/\sinh^2(x) \,</math>
:<math> \frac{d}{dx}\ \hbox{csch(x)} = - \coth(x)\ \hbox{csch(x)}\,</math>
:<math> \frac{d}{dx}\ \hbox{sech(x)} = - \tanh(x)\ \hbox{sech(x)}\,</math>
:<math>\frac{d}{dx}\left( \sinh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\left( \cosh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\left( \tanh ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\left( \operatorname{csch}^{-1}x \right)=-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\left( \operatorname{sech}^{-1}x \right)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\left( \coth ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}}</math>
==Συνήθη [[ολοκλήρωμα|ολοκληρώματα]]==
:<math>\int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax + C</math>
:<math>\int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax + C</math>
:<math>\int \tanh ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\cosh ax) + C</math>
:<math>\int \coth ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\sinh ax) + C</math>
:<math>\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>
:<math>\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>
:<math>\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}</math>
:<math>\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}</math>
:<math>\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>
:<math>\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C</math>
Στις πιο πάνω σχέσεις, ''C'' καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.
==Σχέσεις με σειρά Τέιλορ==
Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση [[Σειρά Τέιλορ|σειράς Τέιλορ]]:
:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>
:<math>\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>
:<math>\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi </math> ([[Σειρά Laurent]])
:<math>\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>
:<math>\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi </math> ([[Σειρά Laurent]])
όπου
:<math>B_n \,</math> είναι ο νιοστός [[αριθμός Μπερνούλι]]
:<math>E_n \,</math> είναι ο νιοστός [[αριθμός Όιλερ]]
==Αναφορές==
{{Reflist}}
{{Μετάφραση EN|Hyperbolic function}}
[[Κατηγορία:Γεωμετρία]]
Γραμμή 28 ⟶ 148 :
[[cs:Hyperbolická funkce]]
[[de:Hyperbelfunktion]]
[[
[[es:Función hiperbólica]]
[[eo:Hiperbola funkcio]]
| |||