Λογική πρώτου βαθμού

Η λογική πρώτου βαθμού είναι μια τυπική λογική που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά, τη φιλοσοφία, τη γλωσσολογία και την επιστήμη υπολογιστών. Συναντάται με διάφορα ονόματα, όπως κατηγορηματικός λογισμός πρώτου βαθμού ή κατηγορηματική λογική. Η πρωτοβάθμια λογική διαφέρει από την προτασιακή λογική στη χρήση ποσοτικών τελεστών: κάθε ερμηνεία της λογικής πρώτου βαθμού περιλαμβάνει ένα πεδίο τιμών όπου κυμαίνονται οι ποσοτικοί τελεστές.

Υπάρχουν πολλά συμπερασματικά συστήματα για την πρωτοβάθμια λογική που είναι συνεπή (παράγουν μόνο σωστά αποτελέσματα) και πλήρη (ικανά να παράγουν οποιαδήποτε ορθή πρόταση). Αν και η σχέση λογικής συνέπειας είναι μόνο ημι-αποφασίσιμη, έχει επιτευχθεί μεγάλη πρόοδος στην αυτόματη απόδειξη θεωρημάτων για τη λογική πρώτου βαθμού. Η λογική πρώτου βαθμού ικανοποιεί επίσης αρκετά θεωρήματα μετα-λογικής που την κάνουν επιδεκτική ανάλυσης στην θεωρία αποδείξεων, όπως το Θεώρημα Λόβενχαϊμ-Σκόλεμ και το θεώρημα συμπαγείας.

Η λογική πρώτου βαθμού έχει μεγάλη σημασία για τα θεμέλια των μαθηματικών, όπου αποτελεί την πρότυπη τυπική λογική για αξιωματικά συστήματα. Έχει ικανή εκφραστική ισχύ ώστε να μπορεί να διατυπώσει δύο σημαντικές μαθηματικές θεωρίες: τη Θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ και την (πρωτοβάθμια) αριθμητική Πεάνο. Εντούτοις, κανένα αξιωματικό σύστημα στην πρωτοβάθμια λογική δεν είναι αρκετά ισχυρό ώστε να περιγράψει κατηγορικά άπειρες δομές όπως οι φυσικοί αριθμοί ή η γραμμή των πραγματικών. Κατηγορικά αξιωματικά συστήματα για τέτοιες δομές μπορούν να παραχθούν σε ισχυρότερες λογικές όπως η λογική δευτέρου βαθμού.