Κανονική κατανομή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Λυδία (συζήτηση | συνεισφορές) Ιδιότητες |
Λυδία (συζήτηση | συνεισφορές) εικόνες, σχέσεις με άλλες κατανομές |
||
Γραμμή 1:
[[Image:Normal Distribution PDF.svg| thumb | 210px |<small>Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για διάφορες παραμέτρους</small>]]
[[Image:Normal Distribution CDF.svg| thumb | 210px |<small>Συνάρτηση κατανομής για διάφορες παραμέτρους</small>]]
Η '''κανονική κατανομή''' είναι η πιο συνήθης συνεχής [[συνάρτηση κατανομής]]. Χρησημοποιείται για να περιγράψει μεγέθη που είναι συγκεντρωμένα γύρω από μια [[μέση τιμή]]. Η σημασία της προέρχεται κυρίως από το [[κεντρικό οριακό θεώρημα]], σύμφωνα με το οποίο το άθροισμα μεγάλου αριθμού ανέξάρτητων και ισόνομων [[τυχαία μεταβλητή|τυχαίων μεταβλητών]] είναι κανονικά κατανεμημένο.
Γραμμή 15 ⟶ 18 :
==Ιδιότητες==
====
Η οικογένεια των κανονικών κατανομών είναι κλειστή ως προς τους [[Γραμμικός μετασχηματισμός|γραμμικούς μετασχηματισμούς]]. Αν <math> X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) </math> και <math>a, b \in \R, a>0</math>, η τυχαία μεταβλητή <math>aX + b</math> ακολουθεί επίσης την κανονική κατανομή με
: <math> aX + b\ \sim\ \mathcal{N}(a\mu+b,\, a^2\sigma^2). </math>
Γραμμή 39 ⟶ 42 :
Αν το διαστημα είναι συμμετρικό ως προς τη μέση τιμή
:<math>P[-x+\mu\le X\le x+\mu]=\Phi\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) - \Phi\Big(\frac{-x}{\sigma}\Big)=2\Phi\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)-1.</math>
==Σχέσεις με άλλες κατανομές==
*Έστω ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές <math>Z_1,Z_2,\dots ,Z_n</math> που ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διακύμανση 1. Το άθροισμα των τετραγώνων τους ακολουθεί την '''κατανομή <math>\chi^2</math>''' με n βαθμούς ελευθερίας.
:<math>Z_1+Z_2+\dots+Z_n\sim\chi_n^2</math>
*Έστω ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές <math>X_1,X_2,\dots ,X_n</math> που ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και διακύμανση σ<sup>2</sup>. Η κάτωθι τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την '''κατανομή Student-t''' με n−1 βαθμούς ελευθερίας.
: <math> \frac{\overline X - \mu}{S} = \frac{\tfrac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n) - \mu}{\sqrt{\tfrac{1}{n-1}\big[(X_1-\overline X)^2+\cdots+(X_n-\overline X)^2\big]}} \ \sim\ t_{n-1} </math>
| |||