Μαθηματική αναγωγή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 3:
Στη [[Γραμμική Άλγεβρα]] η (μαθηματική) αναγωγή εφαρμόζει κανόνες για να μετατρέψει την [[εξίσωση]], το [[σύστημα εξισώσεων]] ή τους [[μαθηματικός πίνακας|πίνακες]] (μήτρες) σε ισοδύναμη αλλά απλούστερη μορφή.
Τέλος η (μαθηματική) αναγωγή αναφέρεται και στην τεχνική της [[ολοκλήρωμα|ολοκλήρωσης κατά μέλη]] για τη διευκόλυνση του υπολογισμού τους με την ξαναγραφή τους ως έκφρασης που περιέχει απλούστερα (στον υπολογισμό) ολοκληρώματα.
== Στατική Αναγωγή ή Αναγωγή Guyan==
Στη δυναμική [[Μαθηματική Ανάλυση|ανάλυση]]. η «στατική αναγωγή» ή «αναγωγή Guyan» αναφέρεται στη (μαθηματική) αναγωγή των βαθμών ελευθερίας. Η στατική αναγωγή μπορεί επίσης να εφαρμοστεί για την απλοποίηση ενός προβλήματος γραμμικής άλγεβρας. Π.χ. έστω το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
<div style='text-align: center;'>
<math>
\mathrm{
\alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2=\beta_1}
</math>
<math>
\mathrm{
\alpha_{21}x_1+\alpha_{22}x_2=\beta_2}
</math>
</div>
* όπου α,β οι γνωστοί και Χ οι άγνωστοι όροι, που τοποθετούνται σε πίνακες.
Η παραπάνω μορφή γράφεται ισοδύναμα και σε μορφή εξίσωσης πινάκων:
<div style='text-align: center;'>
<math>
\mathrm{
\begin{bmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\beta_1 \\
\beta_2
\end{bmatrix}}
</math>
</div>
Αν τώρα β<sub>2</sub>=0 και χρειαζόμαστε μόνο τον όρο x<sub>1</sub>, η εξίσωση των πινάκων μπορεί να αναχθεί στην ακόλουθη εξίσωση:
<div style='text-align: center;'>
<math>
\mathrm{
\alpha_{11 \alpha \nu.} x_1 = \beta_1}
</math>
</div>
Η αναγωγή στον όρο α<sub>11αν.</sub> φαίνεται πώς γίνεται αν ξαναγράψουμε το αρχικό σύστημα εξισώσεων στην ακόλουθη μορφή, εφαρμόζοντας την προϋπόθεση β<sub>2</sub>=0:
<div style='text-align: center;'>
<math>
\mathrm{
\alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2=\beta_1\;}
</math>
<math>
\mathrm{
\alpha_{21}x_1+\alpha_{22}x_2=0\;}
</math>
</div>
Είναι φανερό τώρα ότι για τη δεύτερη (2<sup>η</sup>) εξίσωση ισχύει:
<div style='text-align: center;'>
\mathrm{\alpha_{21}x_1+\alpha_{22}x_2=0 \Leftrightarrow \alpha_{21}x_1 = -\alpha_{22}x_2 \Leftrightarrow x_2 = -\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}}x_1
}
</div>
Αντικαθιστώντας τώρα το x<sub>2</sub> στην πρώτη εξίσωση, αυτή γίνεαι:
<div style='text-align: center;'>
<math>
\mathrm{
\alpha_{11}x_1-\alpha_{12}\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}}x_1 =\beta_1 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} \alpha_{11} -\alpha_{12}\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}} \end{pmatrix} x_1 =\beta_1
}
/math>
</div>
Τέλος θέτοντας <math><math>
\mathrm{
\alpha_{11 \alpha \nu.} = \alpha_{11} -\alpha_{12}\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}}
}</math> διαμορφώθηκε η «αναγμένη» εξίσωση:
<div style='text-align: center;'>
<math>
\mathrm{
\alpha_{11 \alpha \nu.} x_1 = \beta_1}
</math>
</div>
[[en:Reduction (mathematics)]]
| |||