Βικιπαίδεια

Γραφική παράσταση συνάρτησης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
→‎Κατασκευή της γραφικής παράστασης: προσθήκη τετριμμένων χαρακτηριστικών
Γραμμή 9:
Αν σε μια γραμμή C βρεθεί μια συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση να είναι η καμπύλη C (δηλαδή C=C<sub>f)</sub>), τότε η εξίσωση f(χ)=ψ ονομάζεται ''εξίσωση της καμπύλης C''. Η εξίσωση μιας καμπύλης μπορεί να υποδηλώνει μια συναρτησιακή σχέση ή να μην το υποδηλώνει. Εξ'ορισμού της συνάρτησης κάθε κατακόρυφη ευθεία της μορφής χ=α τέμνει μια γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο. Έτσι μερικές καμπύλες, όπως ο κύκλος, δεν έχουν εξίσωση η οποία να υποδηλώνει συνάρτηση.
 
==ΚατασκεήΚατασκευή της γραφικής παράστασης==
 
Η γραφική παράσταση αποδίδει οπτικά μια συνάρτηση δίνοντας άμεσα τις πληροφορίες που χρειαζόμαστε.
Γραμμή 17:
Με περισσότερη εξοικίωση η γραφική παράσταση μπορεί να μας πληροφορήσει και για τη γενικότερη συμπεριφορά της συνάρτησης, ώστε να μπορούμε να την κατανοήσουμε και να προβλέψουμε τη συμπεριφορά της διαισθητικά. Αυτή η ικανότητα είανι εξαιρετικά χρήσιμη, ειδικά να ο τύπος της συνάρτησης είναι πολύπλοκος ή χρειάζεται αρκετές πράξεις για υπολογισμό.
 
ΓιαΣυνήθως τα σημεία της συνάρτησης είανι άπειρα, ώστε να είανι αδύνατος ο υπολογισμός όλων των σημείων και η απόδοσή τους γραφικά. Έτσι, για την κατασκευή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης χρειάζεται πρώτα η μελέτη της συνάρτησης, ώστε να κατασκευαστεί ένας ''πίνακας μεταβολών της συνάρτησης''. Ύστερα με κατάλληλη επιλογή μερικών σημείων και ακολουθώντας τις οδηγίες από τον πίνακα μεταβολών μπορεί να κατασκευαστεί μια ικανοποιητική γραφική παράσταση.
 
<!--===Πεδίο ορισμού===
 
Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι γραφικά η ορθή προβολή της γραφικής παράστασης της στον άξονα χ'χ. Τα [[διάστημα μαθηαμτικά|διαστήματα]] συμβολίζονται με ευθύγραμμα τμήματα, ενώ οι μεμονομένες τιμές με σημεία.
 
===Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα===
<!--εκκρεμείΑν απόδειξηη συνέχειας,συνάρτηση παραγωγισιμότηταςΗή εκθετικήτμήμα συνάρτησητης είναι συνεχής, τότε η γραφική παράσταση σε όλο το πεδίο ορισμού της ή το τμήμα είναι συνεχής γραμμή, όπωςδηαλαδή καιμπορεί να σχεδιαστεί ''χωρίς το μολύβι να αφήσει το χρτί''. Όπου είναι [[παράγωγος|παραγωγίσιμη]]. Επιπλέον, κάθεη τηςγραφική παράγωγοςπαράσταση είναι παραγωγίσιμη.καμπύλη Ισχύειή (α<sup>x</sup>)'=(lnα)(α<sup>x</sup>)ευθεία, ενώδηλαδή γιαμια τηομαλή νιοστήγραμμή παράγωγοχωρίς (α<sup>x</sup>)<sup>ν</sup>=(lnα)<sup>ν</sup>(α<sup>x</sup>)γωνίες.
 
===Μονοτονία===
[[Αρχείο:Εκθετική (α=1,23).PNG|thumb|left|Εκθετική συνάρτηση με α>1]]
 
Όπου η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, η γραφική παράσταση ''ανεβαίνει'' και όπου είναι γνησίως φθίνουσα ''κατεβαίνει''. Όπου είναι σταθερή, η γραφική παράσταση είναι ευθεία οριζόντια γραμμή.
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις μία για α>1 και μία για 0<α<1.
*Αν α>1:
 
Οι εκθετικές συναρτήσεις με βάση α>1 είναι γνησίως αύξουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα>0 και α<sup>x</sup>>0, άρα (α<sup>x</sup>)'>0.
[[Αρχείο:Εκθετική (α=1 διά 1,23).PNG|thumb|left|Εκθετική συνάρτηση με 1>α>0.]]
 
 
*Αν 1>α>0:
 
Οι εκθετικές συναρτήσεις με βάση 0<α<1 είναι γνησίως φθίνουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα<0 και α<sup>x</sup>>0, άρα (α<sup>x</sup>)'<0.
 
===Ακρότατα-Ασύμπτωτες===
 
Σε όρους περιγραφής κορυφογραμμής, όπου η συνάρτηση εμφανίζει μέγιστο, η γραφική παράσταση εμφανίζει κορυφή, ενώ όπου υπάρχει ελάχιστο στη γραφική παράσταση εμφανίζεται κοιλάδα. Όσων αφορά τις ασύμπτωτες, στη γραφική παράσταση εμφανίζονται ως ευθείες τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης τις πλησιάζει συνεχώς χωρίς να τις τέμνει. Μερικές φορές στη γραφική παράσταση εμφανίζεται λανθασμένα να ταυτίζεται από κάποιο σημείο και έπειτα με την ασύμπτωτη. Ασύμπτωτες μπορεί να είναι όχι μόνο ευθείες αλλά και καμπύλες, αν συνήθως δε χρησιμοποιούνται.
<!--εκκρεμούν αποδείξεις των ορίων*Αν α>1:
 
===Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες===▼
Το όριο της εκθετικής στο συν άπειρο είναι συν άπειρο, ενώ το όριο της εκθετικής στο μείον άπειρο είναι 0. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία y=0, δηλαδή ο άξονας x'x. Το σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το ανοιχτό μηδέν, συν άπειρο, δηλαδή όλοι οι θετικοί αριθμοί.
 
Το σύνολο τιμών συνάρτησης εμφανίζεται γραφικά ως την ορθή προβολή της γραφικής παράστασης στον άξονα ψ'ψ, όπως και το πεδίο ορισμού. Οι γνωστές τιμές σημειώνονται με κουκίδες. Κατα την τελική κατασκευή, δηλαδή τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης φροντίζουμε η καμπύλη να διέρχεται από αυτά τα σημεία. Συνήθως τα γνωστά σημεία είναι τα μέγιστα, τα ελάχιστα, τα σημεία καμπής, οι [[ρίζα (μαθηαμτικά)|ρίζες]], το σημείο τομής με τον άξονα ψ'ψ.
*Αν 0<α<1:
 
===[[Κυρτότητα|Κοιλοκυρτότητα]]===▼
Το όριο της εκθετικής στο συν άπειρο είναι μηδέν, ενώ το όριο της εκθετικής στο μείον άπειρο είναι συν άπειρο. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία y=0, δηλαδή ο άξονας x'x.
 
Αν η συνάρτηση είναι κυρτή, τότε η γραφική παράσταση είναι τέτοια, ώστε η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο να μην είναι πάνω από οποιοδήποτε σημείο της συνάρτησης. Αντίστροφα, αν η συνάρτηση είναι κοίλη, τότε η γραφική παράσταση είναι τέτοια, ώστε η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο να μην είναι κάτω από οποιοδήποτε σημείο της συνάρτησης. Εμπειρικά μια κυρτή συνάρτηση μοιάζει με ποτήρι που ''κρατάει νερό'', ενώ η κοίλη με αναποδογυσμένο ποτήρι που ''δεν κρατάει νερό''.
▲===Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες===
 
===Σύνοψη μεταβολών της εκθετικής συνάρτησης===▼
Το σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το ανοιχτό μηδέν, συν άπειρο, δηλαδή όλοι οι θετικοί αριθμοί. Κάθε εκθετική συνάρτηση διέρχεται από το σημείο (0,1). Καμία εκθετική συνάρτηση δεν έχει [[ρίζα (μαθηματικά)|ρίζες]], δηλαδή η εξίσωση α<sup>x</sup>=0 είναι αδύνατη.
 
Όλες οι παραπάνω πληροφορίες συγκεντρώνονται σε έναν πίνακα, ο οποίος ονομάζεται ''πίνακας μεταβολών της συνάρτησης''.
▲===Κοιλοκυρτότητα===
 
Σε κάθε περίπτωση είναι (α<sup>x</sup>)<nowiki>''</nowiki>=(lnα)<sup>2</sup>(α<sup>x</sup>)>0, άρα η εκθετική συνάρτηση είναι κυρτή, δηλαδή ''στρέφει τα κοίλα άνω''. Δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
<!--χρειάζεται μόλις ολοκληρωθούν και οι αποδείξεις
▲===Σύνοψη μεταβολών της εκθετικής συνάρτησης===
 
Η εκθετική συνάρτηση ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς, είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και κάθε παράγωγός της παραγωγίσιμη. Είναι κυρτή συνάρτηση και γνησίως μονότονη. Αν α>1 είναι γνησίως άυξουσα, αν 0<α<1 γνησίως φθίνουσα. Ασύμπτωτη είανι η y=0, δηλαδή ο άξονας x'x
===Συμμετρίες===
[[Αρχείο:Συμμετρικές εκθετικές (α=1,23).PNG|thumb|Κοινή γραφική παράσταση εκθετικών συναρτήσεων με αντίστροφες βάσεις.]]
Η εκθετική συνάρτηση α<sup>x</sup> είναι συμμετρική με την α<sup>-x</sup>=(1/α)<sup>x</sup> ως προς τον άξονα y'y. Παρατηρείται ότι οι δύο βάσεις είναι αντίστροφες μεταξύ τους.
 
Αν μια συνάρτηση είναι συμμετρική, τότε μπορεί να κατα;σκευαστεί μόνο ένα μέρος της συνάρτησης και το υπόλοιπο προκύπτει με κατάλληλη επανάληψη του προηγούμενου μέρους. Στις [[περιοδική συνάρτηση|περιοδικές συναρτήσεις]] επαναλαμβάνεται η γραφική παράσταση της περιόδου. Στις [[άρτια συνάρτηση|άρτιες]] ο άξονας ψ'ψ είανι άξονας συμμετρίας, ενώ στις [[περιττή συνάρτηση|περιττές]] σημείο συμμετρίας είναι η αρχή των αξόνων. Δεν υπάρχουν συναρτήσεις με άξονα συμμετρίας τον άξονα χ'χ γιατί τότε θα παραβιαζόταν ο ορισμός της συνάρησης, εκτός από τις συναρτήσεις με μοναδική τιμή το 0.
 
<!--θεωρία σφαλμάτων(πάχος γραμμής)
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Γραφική_παράσταση_συνάρτησης"