Ρητός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Λυδία (συζήτηση | συνεισφορές)
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Λυδία (συζήτηση | συνεισφορές)
Κατασκευή
Γραμμή 30:
* Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι [[πυκνό]] στο σύνολο των πραγματικών. Με αυτό εννοούμε ότι μεταξύ δύο οποιονδήποτε πραγματικών μπορεί να βρεθεί πάντα ένας ρητός και κατά συνέπεια μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών μπορούν να βρεθούν άπειροι σε πλήθος ρητοί αριθμοί. Επίσης είναι εύκολο να αποδείξει κανείς ότι και μεταξύ δύο οποιονδήποτε ρητών αριθμός μπορεί να βρεθεί τουλάχιστον ένας άλλος ρητός αριθμός και κατά συνέπεια άπειροι σε πλήθος ρητοί.
 
 
==Θεωρητική Κατασκευή==
[[Image:RationalRepresentation.pdf|thumb|Κάθε γραμμή του διαγράμματος (χωρίς το 0) αντιστοιχεί σε μια κλάση ισοδυναμίας]]
 
Οι ρητοί αριθμοί κατασκευάζονται από [[Σχέση ισοδυναμίας#κλάση ισοδυναμίας|κλάσεις ισοδυναμίας]] διατεταγμένων ζεύγων ακεραίων (μ, ν) με ν διάφορο του μηδενός.
Θεωρούμε τις πράξεις της πρόσυεσης και του πολλαπλασιασμού:
::<math>(\mu, \nu) + (\kappa, \lambda) = (\mu \cdot \lambda + \nu \cdot \kappa,\, \nu \cdot \lambda)</math>
::<math>(\mu, \nu) \cdot (\kappa, \lambda) = (\mu \cdot \kappa,\, \nu \cdot \lambda)</math>
Οι πράξεις αυτές αντιστοιχούν σε αυτές των κλασμάτων (βλ. Αριθμητική).
 
Ως σχέση ισοδύναμίας ορίζουμε
::<math>(\mu, \nu) \sim (\kappa, \lambda) \Leftrightarrow \mu \cdot \lambda = \nu \cdot \kappa</math>
που αντιστοιχεί στην ισοδυναμία κλασμάτων (π.χ. 1/2=2/4 αφού 1.4=2.2).
 
Το σύνολο <math>\mathbb{Q}</math> είναι σύμφωνα με τα παραπάνω ισοδύναμο με το σύνολο πηλίκο <math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \setminus \{0\}/\sim \,</math>
 
----