|
== Χειρισμός σημάτων ==
Τα πιο ενδιαφέροντα συστήματα είναι τα γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ), τα οποία ευτυχώς μοντελοποιούν ευρύ πλήθος πραγματικών συστημάτων. Η καρδιά της επεξεργασίας σήματος είναι η έννοια της [[υπέρθεση|υπέρθεσης]] που ισχύει στα ΓΧΑ συστήματα. Ο μόνος τρόπος να συνδυαστούν διαφορετικά σήματα σε ένα κοινό, σύνθετο σήμα είναι (λόγω της γραμμικότητας) με πρόσθεση των επιμέρους σημάτων, όπου το κάθε σήμα όμως μπορεί να είναι πολλαπλασιασμένο επί μία σταθερά. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται ''σύνθεση'' και το τελικό σήμα λέγεται ''υπέρθεση'' των αρχικών. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται ''αποσύνθεσηανάλυση'', όπου ξεκινώντας από μία υπέρθεση καταλήγουμε σε επιμέρους σήματα. Έστω λοιπόν ένα ΓΧΑ σύστημα, ένα σήμα εισόδου x(t) και ένα σήμα εξόδου y(t). Αν αποσυνθέσουμεαναλύσουμε το σήμα εισόδου σε επιμέρους σήματα, περάσουμε το καθένα από αυτά μέσα από το σύστημα και προσθέσουμε τις επιμέρους εξόδους, το τελικό αποτέλεσμα ισούται με το σήμα εξόδου y(t). Αυτή η διαδικασία βρίσκεται στο επίκεντρο της επεξεργασίας σήματος καθώς απλοποιεί κατά πολύ την εύρεση της εξόδου ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο.
[[Εικόνα:Impulse.png|thumb|left|270px|''Η κρουστική απόκριση ενός συστήματος σε τρεις εκδοχές: μία κανονική, μία με ενισχυμένες τις υψηλές της συχνότητες και μία με ενισχυμένες τις χαμηλές της συχνότητες'']]
Δύο τρόποι αποσύνθεσηςανάλυσης είναι ευρέως διαδεδομένοι: η ''κρουστική αποσύνθεσηανάλυση'' και η ''αποσύνθεσηανάλυση Φουριέ''. Στην κρουστική αποσύνθεσηανάλυση διασπούμε το σήμα σε ελάχιστης διάρκειας (απειροελάχιστες και άπειρες σε πλήθος για αναλογικά σήματα) «ωθήσεις», δηλαδή στιγμιαία σήματα που το καθένα βρίσκεται σε διαφορετικό σημείο του πεδίου ορισμού και έχει το πλάτος του ολικού σήματος στο σημείο εκείνο. Για την ακρίβεια στα αναλογικά σήματα η ώθηση έχει άπειρο πλάτος, μηδενικό εύρος και εμβαδόν της περιοχής που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα ίσο με το ζητούμενο πλάτος (καμία πραγματική συνάρτηση δεν καλύπτεται από αυτές τις ιδιότητες, μα η ώθηση είναι ειδικώς ορισμένη περίπτωση). Μία κανονικοποιημένη ώθηση, με εμβαδόν περιοχής ίσο με τη μονάδα, περιγράφεται μαθηματικά από την [[κρουστική συνάρτηση]] δ(t). Η έξοδος του υπό μελέτη συστήματος όταν του δοθεί ως είσοδος η δ(t) ονομάζεται [[κρουστική απόκριση]] και χαρακτηρίζει πλήρως ένα ΓΧΑ σύστημα. Αν η κρουστική απόκριση είναι επίσης ώθηση, δηλαδή στιγμιαίας διάρκειας, τότε το σύστημα είναι στατικό (χωρίς [[μνήμη]]), διαφορετικά είναι δυναμικό.
Οι ενδιαφέρουσες περιπτώσεις είναι τα δυναμικά ΓΧΑ συστήματα στα οποία μπορούμε, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση h(t), να βρούμε την έξοδο του συστήματος για κάθε πιθανή είσοδο x(t) με τον εξής τρόπο: εκτελούμε κρουστική αποσύνθεσηανάλυση του σήματος εισόδου και, για κάθε ώθηση που προκύπτει, προσμετρούμε στην έξοδο την αντίστοιχη απόκριση του συστήματος (η οποία είναι αh(t-t<sub>0</sub>) για είσοδο αδ(t-t<sub>0</sub>), λόγω γραμμικότητας και χρονικής ανεξαρτησίας). Κάθε σημείο της εξόδου επηρεάζεται από πολλά σημεία της εισόδου λόγω της μνήμης του συστήματος (π.χ. αν η κρουστική απόκριση είναι μη μηδενική στο διάστημα [0,5] του πεδίου ορισμού της, τότε μία ώθηση στο σημείο t<sub>0</sub> της εισόδου συμβάλλει στον σχηματισμό της εξόδου σε όλο το διάστημα [t<sub>0</sub>,t<sub>0</sub>+5] του πεδίου ορισμού της) αλλά όλη η διαδικασία του, φαινομενικά περίπλοκου, υπολογισμού μπορεί να μοντελοποιηθεί πλήρως από τη μαθηματική πράξη της [[συνέλιξη|συνέλιξης]] μεταξύ των δύο συναρτήσεων x(t) και h(t) (συμβολίζεται με «*»). Η εν λόγω συνέλιξη, με κατάλληλη [[ολοκλήρωμα|ολοκλήρωση]], δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση y(t) η οποία στην περίπτωση αυτή είναι η έξοδος του συστήματος (y(t) = x(t)*h(t)). Η κρουστική απόκριση συνήθως μετράται με εμπειρικά μέσα και τον ρόλο της κρουστικής εισόδου δ(t) μπορεί να παίξει οποιαδήποτε είσοδος είναι «επαρκώς σύντομη» για τα δεδομένα του συστήματος (π.χ. με γυμνό [[μάτι]] οποιοδήποτε [[αστέρι]] ή [[πλανήτης]] του νυχτερινού ουρανού δρα ως δ(t) για το ανθρώπινο οπτικό σύστημα και η μικροσκοπική αστρική εικόνα που τελικά βλέπουμε είναι η κρουστική απόκριση του ματιού).
Μία εναλλακτική μέθοδος αποσύνθεσηςανάλυσης όπως προαναφέρθηκε είναι η αποσύνθεσηανάλυση Φουριέ, με την οποία αναλύουμε ένα οποιοδήποτε περιοδικό σήμα σε άθροισμα απείρων ημιτόνων, όλων των δυνατών συχνοτήτων, τα οποία σχηματίζουν αθροιζόμενα το ολικό αρχικό σήμα. Κάθε ένα από αυτά τα ημίτονα συμμετέχει με διαφορετικό πλάτος στο ολικό σήμα και ο μαθηματικός [[Μετασχηματισμός Φουριέ]] μας λέει κατά πόσο συμμετέχει κάθε πιθανή συχνότητα στον σχηματισμό του. Έτσι π.χ. ο Μετασχηματισμός Φουριέ ενός απλού ημιτονοειδούς σήματος είναι η κρουστική συνάρτηση, μία ώθηση, καθώς το ημίτονο περιέχει μόνο μία συχνότητα. Η σημασία της αποσύνθεσηςανάλυση Φουριέ έγκειται στο ότι σε ένα ΓΧΑ σύστημα η έξοδος για ημιτονοειδή είσοδο είναι πάλι ένα ημίτονο, ίδιας συχνότητας αλλά διαφορετικού πλάτους και φάσης. Έτσι μπορούμε να εκφράσουμε την έξοδο ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο ως άθροισμα απείρων ημιτόνων, ίδιων συχνοτήτων με τα ημίτονα που αθροιζόμενα παράγουν την είσοδο αλλά με κατάλληλα τροποποιημένη (λόγω της επίδρασης του συστήματος) φάση και πλάτος. Ας σημειωθεί ότι ο Μετασχηματισμός Φουριέ απεριοδικών σημάτων είναι συνεχής, δηλαδή το συχνοτικό φάσμα των σημάτων περιέχει μη μετρήσιμα άπειρες διαφορετικές συχνότητες. Αντιθέτως ο Μετασχηματισμός Φουριέ [[περίοδος|περιοδικών]] σημάτων (γνωστός και ως ''σειρά Φουριέ'') είναι διακριτός, δηλαδή το φάσμα των σημάτων περιέχει μετρήσιμα άπειρες διαφορετικές συνιστώσες: ένα ημίτονο της θεμελιώδους συχνότητας (η οποία είναι η συχνότητα του αρχικού, ολικού περιοδικού σήματος) και άπειρα ημίτονα που οι συχνότητες τους είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους (''αρμονικές συνιστώσες''). Τον Μετασχηματισμό Φουριέ μίας ποσότητας x(t) (αντίστοιχα f(t)) τον συμβολίζουμε με Χ(Ω) (αντίστοιχα F(Ω)), όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή Ω υποδηλώνει πως το πεδίο ορισμού είναι πεδίο συχνοτήτων.
[[Image:Synthesis square.gif|thumb|450px|right|''Διαδοχική πρόσθεση αρμονικών συνιστωσών με τελικό στόχο τη σύνθεση ενός «τετραγωνικού» περιοδικού σήματος'']]
Ο Μετασχηματισμός Φουριέ της κρουστικής απόκρισης ενός ΓΧΑ συστήματος ονομάζεται '''[[συνάρτηση μεταφοράς]]''' ή '''απόκριση συχνοτήτων''' του συστήματος. Έχει ιδιαίτερη σημασία γιατί μία ιδιότητα της συνέλιξης είναι ότι στο πεδίο των συχνοτήτων μετατρέπεται σε ένα απλό γινόμενο (επομένως η σχέση y(t)=h(t)*x(t) μετασχηματίζεται στον τύπο Y(Ω)=H(Ω)X(Ω), αν λάβουμε το φάσμα Φουριέ των εμπλεκόμενων ποσοτήτων). Έτσι, αν η συνάρτηση μεταφοράς είναι μηδενική έξω από ένα περιορισμένο διάστημα συχνοτήτων [Ω<sub>1</sub>,Ω<sub>2</sub>], τότε το φάσμα κάθε εξόδου περιέχει τις συχνότητες της αντίστοιχης εισόδου οι οποίες εμπερικλείονται στο διάστημα αυτό (πιθανώς με τροποποιημένο πλάτος και φάση στο πεδίο του χρόνου σε σχέση με την είσοδο) και καμία άλλη συχνότητα, καθώς λόγω του πολλαπλασιασμού H(Ω)X(Ω) το φάσμα της εξόδου μηδενίζεται πέραν των ορίων του διαστήματος [Ω<sub>1</sub>,Ω<sub>2</sub>]. Το διάστημα αυτό καλείται '''[[εύρος ζώνης]]''' του συστήματος. Συστήματα τα οποία στην έξοδό τους διατηρούν απαράλλακτες, ως προς το πλάτος και τη φάση, τις συχνοτικές συνιστώσες της εισόδου οι οποίες εμπίπτουν σε ένα διάστημα [Ω<sub>1</sub>,Ω<sub>2</sub>], αλλά μηδενίζουν κάθε άλλη συνιστώσα, ονομάζονται '''φίλτρα'''. Ένα φίλτρο λέγεται:
|
