Πραγματικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Τοπολογικές ιδιότητες
(Πληθάριθμος)
(Τοπολογικές ιδιότητες)
 
 
==Τοπολογικές ιδιότητες==
{{Μαθηματικά-επέκταση}}
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την [[ευκλείδεια μετρική]] αποτελούν [[μετρικός χώρος|μετρικό χώρο]].
Η συνήθης [[τοπολογία]] προκύπτει από ανοιχτα διαστήματα της μορφής <math>B_r(p)=\{x\in\R:|x-p|<r\}</math>.
 
O <math>\R</math> δεν είναι [[συμπαγής μετρικός χώρος]]. Υπάρχει ''ανοιχτή κάλυψη'' του <math>\R</math> για την οποία δεν υπάρχει πεπερασμένη ανοιχτή υπο-κάλυψη.
Π.χ. θεωρούμε τα σύνολα <math>U_n=(n-1, n+1)</math>. Η ένωσή τους <math>\cup_{n\in \N} U_n</math> είναι μια κάλυψη του <math>\R</math>. Δεν υπάρχει όμως πεπερασμένος αριθμός των <math>U_n</math> που μπορούν να καλυψουν τον <math>\R</math>.
Ο <math>\R</math> είναι όμως ''τοπικά συμπαγής'', για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει [[περιοχή (μαθηματικά)|περιοχή]] του, της οποίας η θήκη είναι συμπαγής.
 
O <math>\R</math> είναι [[συναφής χώρος]], αφού δε μπορεί να διαιρεθεί σε δυο ανοιχτά ξένα μεταξύ τους σύνολα.
 
 
448

επεξεργασίες