Ψαμμίτης (Αρχιμήδης): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Nous~elwiki (συζήτηση | συνεισφορές)
Αρχιμήδου Ψαμμίτης
 
Nous~elwiki (συζήτηση | συνεισφορές)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 1:
Ο '''Ψαμμίτης''' ("''Άμμου Καταμέτρης''" ή περιφραστικά "''Αυτός που μετράει τους κόκκους της άμμου''") είναι ένα από τα χαρακτηριστικότερα έργα του [[Αρχιμήδη]] και αποτελεί υπό μια έννοια την πρώτη του επεξηγηματική εργασία. Στο έργο αυτό, ο Αρχιμήδης επιχειρεί να ανατρέψει την τότε κοινή πεποίθηση ότι ο αριθμός των κόκκων της άμμου είναι υπερβολικά μεγάλος για να καταμετρηθεί.
Ψαμμίτης
----
Ο '''Ψαμμίτης''' ("''Άμμου Καταμέτρης''" ή περιφραστικά "''Αυτός που μετράει τους κόκκους της άμμου''") είναι ένα από τα χαρακτηριστικότερα έργα του Αρχιμήδη και αποτελεί υπό μια έννοια την πρώτη του επεξηγηματική εργασία. Στο έργο αυτό, ο Αρχιμήδης επιχειρεί να ανατρέψει την τότε κοινή πεποίθηση ότι ο αριθμός των κόκκων της άμμου είναι υπερβολικά μεγάλος για να καταμετρηθεί.
 
Προκειμένου να το επιτύχει, έπρεπε πρώτα να επινοήσει ένα σύστημα ονομασίας μεγάλων αριθμών, ώστε να ορίσει ένα άνω όριο· ξεκίνησε λοιπόν από τον μεγαλύτερο αριθμό εκείνης της εποχής, την ''μυριάδα μυριάδων''. Η "''μυριάς"'' ισούται με 10.000, συνεπώς η μυριάς μυριάδων ισούται με 10.000Χ10.000=100.000.000, εκατό εκατομμύρια.
 
Το σύστημα μέτρησης του Αρχιμήδη φτάνει μέχρι το <math>10^{8 \times 10^{16}}</math> το οποίο είναι μια''μία μυριάδα μυριάδων εις την μυριοστή μυριάδα''. Ένας άλλος τρόπος να περιγραφεί αυτός ο αριθμός είναι μια μονάδα ακολουθούμενη από 80 τετρακισεκατομμυρια μηδενικά... Συγκρινόμενο με αυτήν την ποσότητα, το ούτως ή άλλως ασύλληπτα μεγάλο ''[[googol]]'' (η μονάδα ακολουθούμενη από 100 μηδενικά, <math>10^100</math>) φαντάζει πολύ πενιχρό. Για να έχει ο αναγνώστης μια αίσθηση του μέτρου των μεγεθών, το σύνολο των στοιχειωδών σωματιδίων (πρωτονίων και ηλεκτρονίων) σε όλο το σύμπαν υπολογίζεται κάπου ανάμεσα στο 10^70 και 10^85, αρκετές τάξεις μεγέθους κάτω από το googol.
 
Τα παραπάνω αποτελούν καλές ενδείξεις των εκφραστικών δυσκολιών που αντιμετώπισε ο Αρχιμήδης και μπορεί να υποτεθεί εδώ ότι σταμάτησε σε αυτόν τον αριθμό επειδή δεν επινόησε νέουςνέα ?ordinalτακτικά numbers?τακτικούς αριθμούς?αριθμητικά, μεγαλύτερουςώστε δηλαδήνα απόεφράσει τηντα μυριάδανέα μυριάδων,του ώστεαπόλυτα νααριθμητικά εφράσει(αριθμούς τουςδηλαδή νέουςμεγαλύτερους τουαπό ?cardinalτην θεμελιακούςμυριάδα αριθμούς?μυριάδων).

Ο Αρχιμήδης επίσης ανακάλυψε και απέδειξε την ιδιότητα των [[εκθετών]], (<math> 10^α)(a 10^β)b = 10^{a+β)b}</math>, απαραίτητη για τον χειρισμό δυνάμεων του 10.
 
Κατόπιν επεχείρησε να εκτιμήσει ένα άνω όριο του αριθμού των κόκκων της άμμου και, μή θέλοντας να ξεπεραστεί ποτέ, υπολόγισε όχι μόνο τον αριθμό των κόκκων άμμου μιας παραλίας, αλλά και ολόκληρης της Γής, μιας Γής αποτελούμενης ολόκληρης από άμμο και τελικά ενός σύμπαντος από άμμο. Η τελευταία αυτή εκτίμηση βασίστηκε στο μεγαλύτερο μοντέλο σύμπαντος που είχε προταθεί μέχρι τότε, το ηλιοκεντρικό μοντέλο του Αρίσταρχου του Σάμιου (δυστυχώς, το χαμένο αυτό έργο του Αρίσταρχου μας είναι γνωστό μόνο χάρις σ' αυτήν την αναφορά). Ο λόγος που επέλεξε ο Αρχιμήδης αυτό το μοντέλο ήταν διότι το ηλιοκεντρικό μοντέλο πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερο εάν η αστρική παράλλαξη δεν μπορεί να μετρηθεί επακριβώς. Ο Αρχιμήδης συνεχίζει προτείνοντας άνω όρια για την διάμετρο της Γής, την απόσταση Γής-Ηλίου και την διάμετρο του σύμπαντος. Προκειμένου να υπολογίσει αυτό το τελευταίο, υποθέτει ότι λόγος της διαμέτρου του σύμπαντος προς την διάμετρο της τροχιάς της Γής περί τον Ήλιο ισούται με τον λόγο της τελευταίας προς την διάμετρο του Ηλίου. Με απλά λόγια αυτό σημαίνει ότι ότι η αστρική παράλλαξη ισούται με την ηλιακή παράλλαξη και μπορεί να συναχθεί (επειδή στο κείμενο υπάρχει ασάφεια) πως ο Αρχιμήδης κάνει αυτήν την υπόθεση γι' αυτόν τον λόγο. Το εξαγόμενο συμπέρασμα είναι πως η ακτίνα του σύμπανος είναι περίπου 1 έτος φωτός, που συμπίπτει με τις σύγχρονες εκτιμήσεις για την ακτίνα του ηλιακού συστήματος. Η τελική εκτίμηση του Αρχιμήδη δίνει άνω όριο 10^64 κόκκων σε ένα σύμπαν πλήρες άμμου.
Κατόπιν επεχείρησε να εκτιμήσει ένα άνω όριο του αριθμού των κόκκων της άμμου και, μή θέλοντας να ξεπεραστεί ποτέ, υπολόγισε όχι μόνο τον αριθμό των κόκκων άμμου μιας παραλίας, αλλά και ολόκληρης της [[Γής]], μιας Γής αποτελούμενης ολόκληρης από άμμο και, τέλος, ενός σύμπαντος από άμμο. Η τελευταία αυτή εκτίμηση βασίστηκε στο μεγαλύτερο μοντέλο σύμπαντος που είχε προταθεί μέχρι τότε, το [[ηλιοκεντρικό μοντέλο]] του [[''Αρίσταρχου του Σάμιου'']] (δυστυχώς, το χαμένο αυτό έργο του Αρίσταρχου μας είναι γνωστό μόνο χάρις σ' αυτήν την αναφορά).
Ο Αρχιμήδης κάνει μερικούς ενδιαφέροντες υπολογισμούς και πειράματα στην πορεία. Ένα από τα πειράματα εκτιμά την γωνιακή διάμετρο του Ηλίου, ιδωμένης από την Γή. Η μέθοδός του αυτή είναι ιδιαιτέρως ενδιαφέρουσα καθώς είναι είναι ίσως το πρώτο γνωστό παράδειγμα πειραματισμού στην Ψυχοφυσική, έναν κλάδο της Ψυχολογίας που ασχολείται με τους μηχανισμούς της ανθρώπινης αντίληψης και της οποίας η εξέλιξη εν γένει αποδίδεται στον Hermann von Helmholtz (το έργο αυτό του Αρχιμήδη είναι πολύ λίγο γνωστό στην Ψυχολογία). Συγκεκριμένα, ο Αρχιμήδης λαμβάνει υπ' όψιν το μέγεθος και το σχήμα του ανθρώπινου οφθαλμού στο πείραμα μέτρησης της γωνιακής διαμέτρου του Ηλίου. Μια άλλη ενδιαφέρουσα μέτρηση αφορά την ηλιακή παράλλαξη και συγκεκριμένα την διαφορά των μετρήσεων της απόστασης από τον Ήλιο, ανάλογα με τον αν μετράται από τον κέντρο της Γής ή από την επιφάνειά της την στιγμή της ανατολής. Και εδώ, ίσως να είναι η πρώτη γνωστή μέτρηση που σχετίζεται με την ηλιακή παράλλαξη.
 
Ο λόγος που επέλεξε ο Αρχιμήδης αυτό το μοντέλο ήταν διότι το ηλιοκεντρικό μοντέλο πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερο εάν η [[αστρική παράλλαξη]] δεν μπορεί να μετρηθεί επακριβώς. Ο Αρχιμήδης συνεχίζει προτείνοντας άνω όρια για την [[διάμετρο]] της Γής, την απόσταση Γής-Ηλίου και την διάμετρο του σύμπαντος. Προκειμένου να υπολογίσει αυτό το τελευταίο, υποθέτει ότι λόγος της διαμέτρου του σύμπαντος προς την διάμετρο της τροχιάς της Γής περί τον Ήλιο ισούται με τον λόγο της τελευταίας προς την διάμετρο του Ηλίου.
 
Με απλά λόγια αυτό σημαίνει ότι ότι η αστρική παράλλαξη ισούται με την ηλιακή παράλλαξη και μπορεί να συναχθεί (επειδή στο κείμενο υπάρχει ασάφεια) πως ο Αρχιμήδης κάνει αυτήν την υπόθεση γι' αυτόν τον λόγο. Το εξαγόμενο συμπέρασμα είναι πως η ακτίνα του σύμπανος είναι περίπου 1 [[έτος φωτός]], που συμπίπτει με τις σύγχρονες εκτιμήσεις για την ακτίνα του ηλιακού συστήματος. Η τελική εκτίμηση του Αρχιμήδη δίνει άνω όριο 10^64 κόκκων σε ένα σύμπαν πλήρες άμμου.
 
Ο Αρχιμήδης κάνει μερικούς ενδιαφέροντες υπολογισμούς και πειράματα στην πορεία. Ένα από τα πειράματα εκτιμά την γωνιακή διάμετρο του Ηλίου, ιδωμένης από την Γή. Η μέθοδός του αυτή είναι ιδιαιτέρως ενδιαφέρουσα καθώς είναι είναι ίσως το πρώτο γνωστό παράδειγμα πειραματισμού στην [[Ψυχοφυσική]], έναν κλάδο της [[Ψυχολογίας]] που ασχολείται με τους μηχανισμούς της ανθρώπινης αντίληψης και της οποίας η εξέλιξη εν γένει αποδίδεται στον [[Hermann von Helmholtz]] (το έργο αυτό του Αρχιμήδη είναι πολύ λίγο γνωστό στην Ψυχολογία). Συγκεκριμένα, ο Αρχιμήδης λαμβάνει υπ' όψιν το μέγεθος και το σχήμα του ανθρώπινου οφθαλμού στο πείραμα μέτρησης της γωνιακής διαμέτρου του Ηλίου. Μια άλλη ενδιαφέρουσα μέτρηση αφορά την ηλιακή παράλλαξη και συγκεκριμένα την διαφορά των μετρήσεων της απόστασης από τον Ήλιο, ανάλογα με τον αν μετράται από τον κέντρο της Γής ή από την επιφάνειά της την στιγμή της ανατολής. Και εδώ, ίσως να είναι η πρώτη γνωστή μέτρηση που σχετίζεται με την ηλιακή παράλλαξη.
 
Συγκεκριμένα, ο Αρχιμήδης λαμβάνει υπ' όψιν το μέγεθος και το σχήμα του ανθρώπινου οφθαλμού στο πείραμα μέτρησης της γωνιακής διαμέτρου του Ηλίου. Μια άλλη ενδιαφέρουσα μέτρηση αφορά την ηλιακή παράλλαξη και συγκεκριμένα την διαφορά των μετρήσεων της απόστασης από τον Ήλιο, ανάλογα με τον αν μετράται από τον κέντρο της Γής ή από την επιφάνειά της την στιγμή της ανατολής. Και εδώ, ίσως να είναι η πρώτη γνωστή μέτρηση που σχετίζεται με την ηλιακή παράλλαξη.
 
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
 
Το κείμενοπρωτότυπο στο πρωτότυποκείμενο - http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/psammites.ps
 
The Sand Reckoner - http://web.fccj.org/~ethall/archmede/sandreck.htm