Βικιπαίδεια

Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
μ Ρομπότ: Προσθήκη: scn:Tiurèma funnamintàli di l'arittimètica; διακοσμητικές αλλαγές
Γραμμή 1:
Το '''Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής''' είναι ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα της [[θεωρία αριθμών|θεωρίας αριθμών]] στα [[μαθηματικά]]. Σύμφωνα με αυτό, κάθε [[φυσικός αριθμός]] μεγαλύτερος της μονάδας αναλύεται σε [[γινόμενο]] [[Πρώτος αριθμός|πρώτων παραγόντων]] κατά ένα και μοναδικό τρόπο, αν δεν λάβουμε υπόψιν μας την σειρά των παραγόντων στο γινόμενο.
 
== Η απόδειξη του Ευκλείδη ==
 
Η απόδειξη χωρίζεται σε δύο σκέλη. Στο πρώτο σκέλος θα αποδείξουμε ότι κάθε φυσικός αριθμός αναλύεται σε γινόμενο πρώτων και στο δεύτερο θα αποδείξουμε ότι αυτή η ανάλυση είναι μοναδική για κάθε φυσικό αριθμό.
Γραμμή 9:
1) Για <math>k=2</math> το πρώτο σκέλος είναι προφανές.
 
2) Έστω ότι για κάθε φυσικό αριθμό <math>n</math> με <math>2</math> &le;≤ <math>n</math> &le;≤<math>k-1</math>, υπάρχουν πρώτοι αριθμοί <math>p_1,...,p_m</math>, όχι αναγκαστικά διαφορετικοί, έτσι ώστε <math> n=p_1...p_m </math>. Αν ο αριθμός <math>k</math> είναι πρώτος ο ισχυρισμός μας ισχύει. Αν ο <math>k</math> είναι σύνθετος, τότε υπάρχουν <math>b,c</math> &isin;∈ <math>N</math> τέτοια ώστε:
<center><math>k=bc</math> και <math>1</math><<math>b</math>&le;≤<math>c</math><<math>k</math></center>
Τότε, σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής, μπορούμε να γράψουμε <math> b=p_1...p_a</math> και <math> c=q_1...q_d</math>, όπου <math>p_1,...,p_a</math> και <math>q_1,...,q_d</math> είναι πρώτοι. Επομένως
<center><math> k=bc=p_1...p_aq_1...q_d</math></center>
Δηλαδή αποδείξαμε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας αναλύεται σε γινόμενο πρώτων.
 
''Μοναδικότητα ανάλυσης'': Έστω <math> p_1...p_a=k=q_1...q_d</math>, με <math>a</math>&le;≤<math>d</math>, δύο πρωτογενείς αναλύσεις του <math>k</math>. Παρατηρούμε ότι το <math> p_1</math> διαιρεί το <math>k</math>. Επομένως, <math> p_1|q_1...q_d</math>. Από το [[λήμμα του Ευκλείδη]] αυτό συνεπάγεται ότι <math> p_1| q_j</math> για κάποιο δείκτη <math>j</math>. Και επειδή o <math>q_j</math> είναι πρώτος, <math> p_1 = q_j</math>. Χωρίς [[βλάβη της γενικότητας]] μπορούμε να υποθέσουμε ότι <math> q_j = q_1</math> Συνεπώς,
<center><math> p_2...p_a=q_2...q_d</math></center>
Με την ίδια διαδικασία βρίσκουμε ότι ο πρώτος <math>p_2</math> ταυτίζεται με κάποιον από τους πρώτους <math>q_2...q_d</math> που και πάλι χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτός είναι ο <math>q_2</math>. Συνεχίζοντας αυτή την διαδικασία συμπεραίνουμε ότι οι <math> p_1,...p_a</math> ταυτίζονται με κάποιους από τους <math> q_1,...,q_d</math>. Χωρίς βλάβη της γενικότητας
<center><math>p_i = q_i</math> για κάθε 1&le;1≤ <math>i</math> &le;≤ <math>a</math></center>
Επιπλέον, <math>1=q_1...q_{d-a}</math>. Αν <math>d>a</math> η ισότητα αυτή είναι αδύνατο να ισχύει, άρα αναγκαστικά <math>a=d</math>.
 
Γραμμή 51:
[[ro:Teorema fundamentală a aritmeticii]]
[[ru:Основная теорема арифметики]]
[[scn:Tiurèma funnamintàli di l'arittimètica]]
[[simple:Fundamental theorem of arithmetic]]
[[sl:Osnovni izrek aritmetike]]
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Θεμελιώδες_θεώρημα_αριθμητικής"