Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Κατά την επιλογή ενός συνόλου από αξιώματα, ο στόχος είναι με βάση αυτά να μπορεί να αποδείξει κανείς όσο το δυνατόν περισσότερα σωστά αποτελέσματα, χωρίς να μπορεί να αποδείξει κανένα λανθασμένο αποτέλεσμα. Ένα σύνολο από αξιώματα είναι [[Πλήρης θεωρία|πλήρες]] αν, για κάθε δήλωση στη γλώσσα των αξιωμάτων, είτε η αυτή δήλωση είτε η άρνησή της μπορεί να αποδειχτεί από τα αξιώματα. Ένα σύνολο αξιωμάτων είναι (απλά) [[Συνέπεια|συνεπές]] αν δεν υπάρχει δήλωση τέτοια ώστε και αυτή και η άρνηση της να μπορούν να αποδειχτούν από τα αξιώματα. Στο πρότυπο σύστημα της [[Λογική πρώτου βαθμού|λογικής πρώτου βαθμού]] ένα ασυνεπές σύνολο αξιωμάτων θα αποδείξει κάθε δήλωση στη γλώσσα της (αυτό μερικές φορές καλείται η [[αρχή της έκρηξης]]) και είναι επομένως αυτόματα πλήρες. Ένα σύνολο από αξιώματα που είναι και πλήρες και συνεπές, παρόλα αυτά, αποδεικνύει ένα [[μέγιστο σύνολο]] από μη-[[Αντίφαση|αντιφατικά]] θεωρήματα. Τα θεωρήματα μη-πληρότητας του Γκέντελ δείχνουν ότι σε συγκεκριμένες περιπτώσεις δεν είναι δυνατόν να εξασφαλίσουμεέχουμε μια αποτελεσματικά παραχθείσα, πλήρη,πλήρης και συνεπήσυνεπής θεωρία.

: ''Οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και [[συνεπής θεωρία|συνεπής]] και [[Πλήρης θεωρία|πλήρης]]. Συγκεκριμένα, για κάθε [[Απόδειξη συνέπειας|συνεπήσυνεπής]], αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική [[θεωρία (μαθηματική λογική)|θεωρία]] που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής,<ref>Η λέξη "αληθής" χρησιμοποιείται [[ντισκουοτενσιονιστικά]] εδώ: η πρόταση Γκέντελ είναι αληθής υπό αυτήν την έννοια επειδή "ισχυρίζεται ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί και όντως δεν μπορεί" (Smoryński 1977 p. 825. Δείτε επίσης: Franzén 2005 pp. 28–33).<!-- It is also possible to read "''G''_''T'' is true" in the formal sense that [[primitive recursive arithmetic]] proves the implication Con(''T'')→''G''_''T'', where Con(''T'') is a canonical sentence asserting the consistency of ''T'' (Smoryński 1977 p. 840, Kikuchi and Tanaka 1994 p. 403) --> </ref> αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία (Kleene 1967, p.&nbsp;250).

Για κάθε συνεπήσυνεπής τυπική θεωρία ''Θ'' που περιλαμβάνει αρκετές ιδιότητες της θεωρίας αριθμών, η αντίστοιχη πρόταση Γκέντελ ''G'' ισχυρίζεται: “Η ''G'' δεν μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι αληθής μέσα στη θεωρία ''Θ''”. Αν η ''G'' μπορούσε να αποδειχθεί μέσω των αξιωμάτων και των κανόνων συμπερασμού της ''Θ'', τότε η ''Θ'' θα είχε ένα θεώρημα,''G'', το οποίο αντίκειται στον εαυτό του, και άρα η θεωρία ''Θ'' θα ήταν ασυνεπής. Αυτό σημαίνει ότι αν η θεωρία ''Θ'' είναι συνεπής τότε η ''G'' δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα σ` αυτή. Αυτό σημαίνει ότι ο ισχυρισμός της ''G'', ότι η ίδια δεν αποδεικνύεται, είναι σωστός. Υπό αυτήν την έννοια η ''G'' όχι μόνο δεν μπορεί να αποδειχθεί αλλά είναι και αληθής. Συνεπώς αποδεικνύεται-μέσα-στη-θεωρία-''Θ'' και αλήθεια δεν είναι το ίδιο. Η θεωρία ''Θ'' δεν είναι πλήρης (είναι μη-πλήρης).