Διωνυμική κατανομή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Λυδία (συζήτηση | συνεισφορές) μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Λυδία (συζήτηση | συνεισφορές) Μοντέλο με κάλπη |
||
Γραμμή 16:
|}
==Μοντέλο με κάλπη==
Θεωρούμε μια κάλπη με Κ λευκές μπάλες και Ν-Κ μαύρες. Η πιθανότητα να τραβήξουμε μια λευκή μπάλα είναι p=Κ/N.
Τραβάμε μια μια μπάλες από την κάλπη επανατοποθετώντας τις κάθε φορά πίσω στην κάλπη (''[[Τυχαίο δείγμα|δειγματοληψία]] με επαναφορά'') μέχρι να τραβήξουμε n μπάλες.
Ζητάμε την πιθανότητα οι k από αυτές να είναι λευκές.
Σύμφωνα με τον [[Θεωρία πιθανοτήτων#Έννοιες|κλασικό ορισμό της πιθανότητας]] αυτή ορίζεται ως το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.
Για κάθε λήψη έχουμε Ν δυνατά αποτελέσματα. Στο σύνολο των n λήψεων τα δυνατά αποτελέσματα ειναι <math>N^n</math>.
Ευνοϊκά αποτελέσματα είναι αυτά κατα τα οποία έχουμε k λευκές μπάλες. Για τη λήψη μιας λευκής μπάλας έχουμε Κ πιθανά αποτελέσματα και για την λήψη μιας μαύρης Ν-Κ. Τα δυνατά αποτελέσματα στις n λήψεις οι k να είναι λευκές για μια συγκεκριμένη σειρά, π.χ. να τραβήξουμε πρώτα όλες τις λευκές μπάλες και μετά τις μαύρες, είναι <math>K^k(N-K)^{n-k}</math>.
Όλες οι πιθανές διατάξεις k λευκών και n-k μαύρων μπαλών είναι <math>\scriptstyle\binom nk</math>.
Συνολικά η ζητούμενη πιθανότητα, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, είναι:
:<math>\begin{align}
\operatorname P(X = k) &= \binom nk \frac{K^k(N-K)^{n-k}}{N^n}\\
&= \binom nk \left(\frac KN\right)^k\left(\frac{N-K}N\right)^{n-k}\\
&= \binom nk p^k (1-p)^{n-k}.
\end{align}</math>
===Σχέσεις με άλλες κατανομές===
Αν πραγματοποιήσουμε μόνο μια λήψη, τότε η τυχαία μεταβλητή που δηλώνει η μπάλα να είναι λευκή ακολουθεί την [[κατανομή Bernoulli]].
Αν η δειγματοληψία γίνει χωρίς επαναφορά, η τυχαία μεταβλητή που δηλώνει τον αριθμό των λευκών μπαλών ακολουθεί την [[υπεργεωμετρική κατανομή]].
{{μαθηματικά-επέκταση}}
| |||