Μέσος όρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ανακατεύθυνση στο μέσος όρος, γιατί όλες οι αποσαφηνιζόμενες έννοιες αφορούσαν μέσους όρους |
μ To "Μέσος όρος αριθμών" μετακινήθηκε στο "Μέσος όρος" |
||
Γραμμή 1:
'''Μέσος όρος''' ή αλλιώς '''μέση τιμή''' ενός συνόλου '''ν''' παρατηρήσεων αποτελεί το σπουδαιότερο και χρησιμότερο μέτρο της [[Στατιστική]] και είναι ένα ''μέτρο θέσης'', δηλαδή δείχνει σχετικά τις θέσεις των αριθμών στους οποίους αναφέρεται. Η μέση τιμή συμμετέχει σε αρκετούς τύπους της στατιστικής και εξετάζεται σε σχεδόν όλες τις στατιστικές κατανομές. Γενικά, ορίζεται ως το άθροισμα των παρατηρήσεων δια του πλήθους αυτών. Είναι δηλαδή η μαθηματική πράξη ανεύρεσης της '''«μέσης απόστασης»''' ανάμεσα σε δύο ή περισσότερους αριθμούς. Η μέση τιμή συμβολίζεται με <math>\bar{x}</math>. Γενικός τύπος της μέσης τιμής είναι:
<math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n t_i = \frac{1}{n} (t_1+\cdots+t_n)</math> , όπου t<sub>i</sub> η i παρατήρηση και n το πλήθος των παρατηρήσεων
π.χ. 8+12+40 ('''3 αριθμοί οπότε :3''')= (60:3)=20 '''άρα''' ο μέσος όρος των '''8''', '''12''' και '''40''' είναι '''20'''.
Αν έχουμε κατηγοριοποιήσει τα δεδομένα σε k [[κλάση (στατιστική)|κλάσεις]] τότε ισχύουν και οι εξής τύποι:
<math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k (n_i x_i) = \frac{1}{n} (n_i x_1+\cdots+n_k x_k)</math>
<math>\bar{x} = \sum_{i=1}^k (f_i x_i) = (f_i x_1+\cdots+f_k x_k)</math>
όπου n<sub>i</sub>, f<sub>i</sub> η i απόλυτη συχνότητα και σχετική συχνότητα αντίσοτιχα της κλάσης με κεντρική τιμή x<sub>i</sub>
==Σύγκριση με άλλα μέτρα θέσης==
Μερικά άλλα χαρακτηριστικά μέτρα θέσης είναι η [[διάμεσος (στατιστική)]] και η [[επικρατούσα τιμή]]. Σημαντική διαφορά με τη μέση τιμή είναι ότι η μέση τιμή υπολογίζεται με απλούς αλγεβρικούς τύπους, ενώ για τη διάμεσο και την έπικρατούσα τιμή δεν υπάρχουν αλγεβρικοί τύποι. Επιπλέον, η μέση τιμή επιρρεάζεται από ακραίες τιμές, ενώ η διάμεσος όχι. Η επικρατούσα τιμή δεν εξαρτάται από το πλήθος των παρατηρήσεων που την έχουν, ένώ στη μέση τιμή συνυπολογίζεται και το πλήθος. Σε μία [[κανονική κατανομή]] αυτά τα τρία ταυτίζονται μεταξύ τους.
Η καταλληλότερη επιλογή μεταξύ των μέτρων θέσης εξαρτάται από το είδος της κατανομής. Γενικά, καλύτερη εικόνα για την κατανομή σχηματίζεται όσο περισσότερα είναι τα στοιχεία που χρησιμοποιούμε. Η μέση τιμή, όπως και τα υπόλοιπα μέτρα θέσης δεν πληροφορούν για τη διασπορά των παρατηρήσεων γύρω από τις κεντρικές τιμές, γι' αυτό είναι απαραίτητα και τα [[μέτρο διασποράς|μέτρα διασποράς]].
==Σταθμισμένος μέσος==
''Σταθμικός μέσος'' ή ''σταθμισμένος μέσος όρος'' ονομάζεται το αποτέλεσμα:
<math>\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^k (w_i x_i)}{\sum_{i=1}^k (w_i)} = \frac{w_1 x_1+\cdots+w_k x_k}{w_1+\cdots+w_k}</math>
όπου w<sub>i</sub> ονομάζεται '''συντελεστής βαρύτητας''' του i στοιχείου x<sub>i</sub>
Αυτός ο τύπος βρίσκει σε εφαρμογές όπως ο υπολογισμός της θέσης του ''κέντρου μάζας'' στη φυσική ή του γενικού βαθμού πρόσβασης στις πανελλήνιες εξετάσεις. Οι συντελεστές βαρύτητας επιτρέπουν την προσαρμογή του μέσου όρου στις ανάγκες μας, ανάλογα με τη φύση του προβλήματος.
==Μέσοι όροι και ακολουθίες==
Ο μέσος όρος όπως ορίστηκε αρχικά ονομάζεται πληρέστερα ''αριθμητικός μέσος όρος'' ή ''αριθμητικός μέσος'', γιατί αν τρεις αριθμοί α, β, γ επαληθεύουν τον τύπο του <math>\beta=\frac{\alpha+\gamma}{2}</math> αποδεικνύεται ότι είναι διαδοχικοί όροι [[αριθμητική πρόοδος|αριθμητικής προόδου]].
Με παρόμοιο τρόπο αν τρεις θετικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι [[γεωμετρική πρόοδος|γεωμετρικής προόδου]] ισχύει ότι <math> \beta=\sqrt{\alpha\gamma}</math>. Ο αριθμός β λέγεται και ''γεωμετρικός μέσος'' των α και γ. Ο γεωμετρικός μέσος λ των θετικών αριθμών α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>ν</sub> είναι: <math>\lambda=\sqrt[\nu]{\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\ldots\cdot\alpha_\nu}</math>
Αν τρεις θετικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι [[αρμονική πρόοδος|αρμονικής προόδου]] ισχύει ότι <math> \frac{2}{\beta}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\gamma}</math>. Ο αριθμός β λέγεται και ''γεωμετρικός μέσος'' των α και γ. Ο αρμονικός μέσος ρ των θετικών αριθμών α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>ν</sub> είναι: <math>\rho=\frac{\nu}{\frac{1}{\alpha_1}+\frac{1}{\alpha_2}+\ldots+\frac{1}{\alpha_\nu}}</math>
Μεταξύ των τριών αυτών μέσων όρων ισχύει η [[ανισότητα Κωσύ]]: χ>λ>ρ, ενώ αν α<sub>1</sub>=α<sub>2</sub>=...=α<sub>ν</sub>, τότε χ=λ=ρ, ή πληρέστερα για τους θετικούς αριθμούς α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>ν</sub> ισχύει:
<center><math>\frac{\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_\nu}{\nu}\ge\sqrt[\nu]{\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\ldots\cdot\alpha_\nu}\ge\frac{\nu}{\frac{1}{\alpha_1}+\frac{1}{\alpha_2}+\ldots+\frac{1}{\alpha_\nu}}</math></center>
==Ενεργός τιμή==
Αρκετές φορές στη [[Φυσική]] ή [[Μηχανική]] δε μας ενδιαφέρει ο ίδιος ο αριθμητικός μέσος, αλλά ο μέσος όρος των τετραγώνων ή άλλης δύναμης του μεγέθους που μελετάμε. Για παράδειγμα αν αναζητούμε τη μέση κινητική ενέργεια ενός μορίου <math>\overline{\frac{1}{2}mu^{2}}=\frac{1}{2}m\overline{u^{2}}</math>, μας ενδιαφέρει ο όρος <math>\overline{u^{2}}</math> και όχι ο όρος <math>(\overline{u})^{2}</math>, ο οποίος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Ωστώσο πολλές φορές υπολογίζονται όροι τύπου <math>\sqrt{\overline{u^{2}}}</math>, οι οποίοι ονομάζονται ''ενεργές τιμές''. Για παράδειγμα ο προηγούμενος ονομάζεται u ενεργό και συνήθως συμβολίζεται με u<sub>εν</sub>. Σε τέτοιες περιπτώσεις ίσως να μη μπορούμε να προσδιορίσουμε το μέσον όρο, και αντί αυτού χρησιμοποιούμε ως μέτρο θέσης την ενεργή τιμή.
==Δείτε επίσης==
* [[Μέση τιμή]] για την αναμενόμενη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής
{{μαθηματικά-επέκταση}}
[[Κατηγορία:Στατιστική]]
[[bn:গড়]]
[[cs:Míra polohy]]
[[de:Mittelwert]]
[[en:Average]]
[[eo:Centra dispozicio]]
[[es:Media (estadística)]]
[[fi:Keskiluku]]
[[fr:Moyenne]]
[[he:ממוצע]]
[[it:Media (statistica)]]
[[ja:平均]]
[[mk:Просек]]
[[nl:Gemiddelde]]
[[no:Gjennomsnitt]]
[[pl:Średnia]]
[[pt:Média]]
[[scn:Media (statìstica)]]
[[sk:Priemer (štatistika)]]
[[sl:Srednja vrednost]]
[[su:Average]]
[[sv:Lägesmått]]
[[th:แนวโน้มสู่ส่วนกลาง]]
[[tr:Ortalama]]
[[ur:اوسط]]
[[wuu:平均]]
| |||