Εκτιμήτρια συνάρτηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Ρομπότ: Προσθήκη: uk:Статистична оцінка
Λυδία (συζήτηση | συνεισφορές)
Εφαρμογές: Μέση τιμή
Γραμμή 2:
 
== Επιθυμητές ιδιότητες ==
Έστω θ η παράμετρος που θέλουμε να εκτιμήσουμε, <math>X=(X_1,\dots,X_n)</math> το τυχαίο δείγμα από κοινή [[συνάρτηση κατανομής]] και Τ(Χ) ο εκτιμητής.
 
=== Αμεροληψία ===
Γραμμή 21:
Ο εκτιμητής λέγεται ''ισχυρά συνεπής (strongly consistent)'', αν [[σχεδόν βέβαιη σύγκλιση|συγκλίνει σχεδόν βέβαια]] στην θ, δηλαδή:
:<math>\lim_{n\to\infty}P(\sup_{k\geq n}|T(X^{(k)})-\theta|>\varepsilon)=0,\quad\forall\varepsilon=0</math>.
 
==Εφαρμογές==
===Μέση τιμή===
Έστω <math>X=(X_1,\dots,X_n)</math> ένα τυχαίο δείγμα από κοινή συνάρτηση κατανομής μέσω του οποίου θέλουμε να εκτιμήσουμε τη [[μέση τιμή]] μ της κατανομής αυτής.
Θεωρούμε ως εκτιμήτρια συνάρτηση τον [[Μέσος όρος#Μέσοι όροι και ακολουθίες|αριθμιτικό μέσο όρο]]
:<math>\bar{X}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math>.
Όταν οι τυχαίες μεταβλητές παίρνουν τις τιμές <math>X_i=x_i, 1\le i\le n</math> η συνάρτηση ονομάζεται ''δειγματική μέση τιμή''
:<math>\hat{\mu} = \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>.
Ο εκτιμητής αυτός είναι αμερόληπτος αφού
:<math>E\left[\bar{X}\right]= E \left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right]= \frac{1}{n}E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right]= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E[X_i]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu =\frac{1}{n}n \mu=\mu </math>.
 
Σύμφωνα με το [[κεντρικό οριακό θεώρημα]] για μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων και για οποιαδήποτε κατανομή των <math>X_i</math> το <math>\bar{X}</math> είναι [[Κανονική κατανομή|κανονικά κατανεμημένο]] σύμφωνα με
:<math> \bar X\sim N(\mu; \frac{\sigma^2}{n}) </math> .
όπου σ<sup>2</sup> η [[διακύμανση]] της κατανομής των <math>X_i</math>.
Για τον λόγο αυτό ο εκτιμητής είναι συνεπής.
 
 
[[Κατηγορία:Στατιστική]]