Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

μ
Bot: Adding {{Αξιόλογο άρθρο}}; διακοσμητικές αλλαγές
[[Αρχείο:Apollonius hyperbolic no eqs black.svg|thumb|right|Σχήμα 3: Δύο δεδομένοι κύκλοι (μαύρο) και ένας εφαπτόμενος σε αυτούς κύκλος (ροζ). Οι αποστάσεις των κέντρων τους ''d''<sub>1</sub> και ''d''<sub>2</sub> ισούται με {{nowrap|''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>''s''</sub>}} και {{nowrap|''r''<sub>2</sub> + ''r''<sub>''s''</sub>}}, αντίστοιχα, έτσι η διαφορά τους είναι ανεξάρτητη του ''r''<sub>''s''</sub>.]]
 
Η επίλυση του [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] (1596) βασίζεται στην τομή δύο [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολών]].<ref name="van_roomen_1596"/><ref name="van roomen by newton"/> Έστω οι δεδομένοι κύκλοι ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub> και ''C''<sub>3</sub>. Ο φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα λύνοντας το απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης των κύκλων που είναι εφαπτόμενοι σε ''δύο'' δεδομένους κύκλους, όπως ο ''C''<sub>1</sub> και ο ''C''<sub>2</sub>. Παρατήρησε ότι το κέντρο του εφαπτόμενου κύκλου πρέπει να βρίσκεται επί [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολής]] της οποίας οι [[εστία (γεωμετρία)|εστίες]] είναι τα κέντρα των δεδομένων κύκλων. Για να γίνει πιο κατανοητό αυτό έστω οι ακτίνες του κύκλου-λύση και των δεδομένων κύκλων ''r''<sub>''s''</sub>, ''r''<sub>''1''</sub> και ''r''<sub>''2''</sub>, αντίστοιχα (Σχήμα 3). Η απόσταση ''d''<sub>1</sub> μεταξύ των κέντρων της λύσης και του ''C''<sub>1</sub> είναι είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> + ''r''<sub>''1''</sub>}} είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> − ''r''<sub>''1''</sub>}} ανάλογα με το αν οι κύκλοι έχουν εκλεγεί να εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά αντίστοιχα. Παρομοίως η απόσταση ''d''<sub>2</sub> μεταξύ των κέντρων του κύκλου-λύση και του ''C''<sub>2</sub> είναι είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> + ''r''<sub>''2''</sub>}} είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> − ''r''<sub>''2''</sub>}} ξανά αναλόγως με των τρόπο που εφάπτονται. Έτσι η διαφορά {{nowrap|''d''<sub>1</sub> − ''d''<sub>2</sub>}} μεταξύ αυτών των αποστάσεων είναι πάντα μία σταθερά η οποία είναι ανεξάρτητη του ''r''<sub>''s''</sub>. Αυτή η ιδιότητα, της σταθερής διαφοράς μεταξύ των αποστάσεων από τις εστίες χαρακτηρίζει τις υπερβολές, έτσι τα πιθανά κέντρα του κύκλου-λύση βρίσκονται επί μίας υπερβολής. Μία δεύτερη υπερβολή μπορεί να σχεδιαστεί από το ζεύγος των δεδομένων κύκλων ''C''<sub>2</sub> και ''C''<sub>3</sub>, όπου η εσωτερική ή εξωτερική επαφή της λύσης πρέπει να εκλεγεί σε συνέπεια με την πρώτη υπερβολή. Η τομή αυτών των δύο υπερβολών (αν υπάρχει) δίνει το κέντρο του κύκλου-λύση που έχει τις επιλεγμένες εσωτερικές ή εξωτερικές επαφές προς τους τρεις δεδομένους κύκλους. Το πλήρες σύνολο των λύσεων του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να βρεθεί αν ληφθούν υπόψη όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί εσωτερικών και εξωτερικών επαφών του κύκλου-λύση προς τους τρεις δεδομένους.
 
Ο [[Ισαάκ Νιούτον]] (1687) βελτίωσε την λύση του φαν Ρόομεν, έτσι ώστε τα κέντρα του κύκλου-λύση να βρίσκονται στην τομη μιας ευθείας και ενός κύκλου.<ref name="Newton_1687"/> Ο Νιούτον διατύπωσε το απολλώνιο πρόβλημα ως πρόβλημα [[τριπλευρισμός|τριπλευρισμού]] (''trilateration''), στον εντοπισμό θέσης του σημείου '''Ζ''' από τρία δεδομένα σημεία '''A''', '''B''' και '''C''', τέτοια ώστε οι αποστάσεις από το '''Z''' στα τρία δεδομένα σημεία να έχουν γνωστές τιμές. <ref name="Hoshen 1996"/> Αυτά τα τέσσερα σημεία αντιστοιχούν στο κέντρο του κύκλου-λύση ('''Z''') και στα κέντρα των δεδομένων κύκλων ('''A''', '''B''' and '''C''').
Ο Βιέτ ξεκίνησε με την επίλυση της περίπτωσης '''ΣΣΣ''' (τρία σημεία) ακολουθώντας την μέθοδο του [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]] όπως περιγράφεται στα [[Στοιχεία]]. Από αυτό εξήγαγε ένα [[λήμμα (μαθηματικά)|λήμμα]] που αντιστοιχεί στο θεώρημα [[δύναμη σημείου|δύναμης σημείου]], το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση '''ΕΣΣ''' (ευθεία και δύο σημεία). Ακολουθώντας την μέθοδο του Ευκλείδη έλυσε την περίπτωση '''ΕΕΕ''' (τρεις ευθείες) χρησιμοποιώντας τις [[διχοτόμος|διχοτόμους]]. Από εκεί εξήγαγε ένα λήμμα για την κατασκευή καθέτου στην διχοτόμο που περνά από ένα σημείο, το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση '''ΕΕΣ'''. Αυτέ είναι οι πρώτες τέσσερις περιπτώσεις του προβλήματος που δεν έχουν να κάνουν με κύκλους.
 
Για να λύσει τα υπόλοιπα προβλήματα ο Βιέτ εκμεταλλεύτηκε το γεγονός ότι οι κύκλοι μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ανά ζεύγη διατηρώντας ωστόσο την επαφή τους (Σχήμα&nbsp;4). Αν η ακτίνα του κύκλου-λύση αλλάξει κατά Δ''r'', η ακτίνα του εσωτερικά εφαπτόμενου κύκλου πρέπει αντίστοιχα να αλλάξει κατά Δ''r'', ενώ οι ακτίνες των εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων πρέπει να αλλάξουν κατά −Δ''r''. Έτσι καθώς ο κύκλος-λύση μεγαλώνει, οι εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι πρέπει να μεγαλώσουν, ενώ οι εξωτερικά πρέπει να μικρύνουν ώστε να διατηρηθεί η επαφή.
 
Ο Βιέτ χρησιμοποίησε αυτή την προσέγγιση ώστε να μετατρέψει ένα από τους δοσμένους κύκλους σε σημείο, μετασχηματίζοντας έτσι το πρόβλημα στην απλούστερη και ήδη λυμένη περίπτωση. Πρώτα έλλυσε την περίπτωση '''KEE''' (κύκλος και δύο ευθείες) ελαττώνοντας τον κύκλο σε σημείο, μετατρέποντας το έτσι σε περίπτωση '''ΕΕΣ'''. Έπειτα έλυσε την περίπτωση '''ΚΕΣ''' (κύκλος, ευθεία, σημείο) χρησιμοποιώντας τρία λήμματα. Ελαττώνοντας ξανά ένα κύκλο σε σημείο μετασχημάτισε το πρόβλημα '''ΚΚΕ''' σε '''ΚΕΣ'''. Έπειτα έλυσε την περίπτωση '''ΚΣΣ''' και την '''ΚΚΣ''', την τελευταία χρησιμοποιώντας δύο λήμματα. Τέλος έλυσε την γενική περίπτωση '''ΚΚΚ''' (τρεις κύκλοι) ελαττώνοντας τον ένα κύκλο σε σημείο μετασχηματίζοντας το πρόβλημα σε '''ΚΚΣ'''.
</math>
 
Όπου ''M'', ''N'', ''P'' και ''Q'' είναι γνωστές συναρτήσεις των δοθέντων κύκλων και της επιλογής των ''s<sub>i</sub>''. Η αντικατάσταση αυτών των εξισώσεων σε μία από τις αρχικές τρεις εξισώσεις δίνει μία δευτεροβάθμια εξίσωση για το ''r''<sub>''s''</sub>. Η αντικατάσταση της τιμής του ''r''<sub>''s''</sub> που προκύπτει από αυτή στις γραμμικές εξισώσεις δίνει τις αντίστοιχες τιμές ''x''<sub>''s''</sub> και ''y''<sub>''s''</sub>.
 
Οι συντελεστές ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub> και ''s''<sub>3</sub> στο δεξί μέρος των εξισώσεων μπορεί να επιλεγούν με οκτώ πιθανούς διαφορετικούς τρόπους, και κάθε επιλογή δίνει μέχρι δύο λύσεις καθώς η εξίσωση για το ''r''<sub>''s''</sub> είναι δευτεροβάθμια. Αυτό μπορεί να υπονοεί (λανθασμένα) ότι υπάρχουν έως και δεκαέξι λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα. Εντούτοις λόγω συμμετρίας των εξισώσεων, αν (''r''<sub>''s''</sub>, ''x''<sub>''s''</sub>, ''y''<sub>''s''</sub>) είναι μία λύση με συντελεστές ''s''<sub>''i''</sub>, τότε λύση είναι και η (−''r''<sub>''s''</sub>, ''x''<sub>''s''</sub>, ''y''<sub>''s''</sub>), με αντίθετους συντελεστές −''s''<sub>''i''</sub> η οποία αναπαριστά τον ίδιο κύκλο. Επομένως το απολλώνιο πρόβλημα έχει το πολύ οκτώ ανεξάρτητες λύσεις (Σχήμα&nbsp;2). Ένας τρόπος για την αποφυγή της διπλής καταμέτρησης είναι να θεωρηθούν μόνο οι κύκλοι με μη αρνητικές ακτίνες.
</math>
 
Το πλεονέκτημα αυτής της επαναδιατύπωσης είναι ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν θεωρήματα της [[γραμμική άλγεβρα|γραμμικής άλγεβρας]] για τον μέγιστο αριθμό [[γραμμική ανεξαρτησία|γραμμικά ανεξάρτητων]], ταυτόχρονα κάθετων διανυσμάτων. Αυτό παρέχει ένα ακόμα τρόπο να υπολογιστεί ο μέγιστος αριθμός των λύσεων καθώς και να επεκταθεί το θεώρημα σε χώρους περισσοτέρων διαστάσεων.<ref name="zlobec_2001" /><ref name="knight_2005" />
 
=== Μέθοδοι αντιστροφής ===
[[Αρχείο:Apollonius annulus2 no eqs black.svg|thumb|left|Σχήμα 8: Ένας κύκλος-λύση (ροζ) στην δεύτερη οικογένεια περικλείει τον εσωτερικό δοσμένο κύκλο (μαύρος). Η διπλάσια ακτίνα του κύκλου-λύση ''r''<sub>''s''</sub> ισούται με το άθροισμα{{nowrap|''r''<sub>''outer''</sub> + ''r''<sub>''inner''</sub>}} των ακτίνων του εσωτερικού και εξωτερικού κύκλου, ενώ η διπλάσια κεντρική απόστασή ''d''<sub>''s''</sub> ισούται με την διαφορά τους.]]
 
Όταν δύο από τους δοσμένους κύκλους είναι ομόκεντροι, το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να λυθεί εύκολα χρησιμοποιώντας μία μέθοδο του [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους|Γκάους]].<ref name="gauss_1810" /> Οι ακτίνες των τριών δεδομένων κύκλων είναι γνωστές, όπως και η απόσταση ''d''<sub>non</sub> από το κοινό κέντρο των ομόκεντρων στο κέντρο του μη ομόκεντρου κύκλου (Σχήμα&nbsp;7). Ο κύκλος λύση μπορεί να καθοριστεί από την ακτίνα του, ''r''<sub>s</sub>, την γωνία θ, και τις αποστάσεις ''d''<sub>s</sub> και ''d''<sub>T</sub> από το κέντρο του στο κοινό κέντρο των ομόκεντρων και στο κέντρο του μη ομόκεντρου κύκλου αντίστοιχα. Η ακτίνα και η απόσταση ''d''<sub>s</sub> είναι γνωστά (Σχήμα&nbsp;7) και η απόσταση ''d''<sub>T</sub> = ''r''<sub>s</sub> ± ''r''<sub>non</sub>, αναλόγως με το αν ο κύκλος λύση είναι εφαπτόμενος εσωτερικά ή εξωτερικά στον μη ομόκεντρο κύκλο. Έτσι από τον [[Νόμος συνημιτόνων|νόμο των συνημιτόνων]]
 
:<math>
 
==== Αλλαγή μεγέθους και αντιστροφή ====
Η χρησιμότητα της [[Γεωμετρία της αντιστροφής|αντιστροφής]] μπορεί να αυξηθεί σημαντικά με την αλλαγή μεγέθους.<ref name="johnson_1929"/><ref name="ogilvy_1969"/> Όπως σημειώθηκε στην [[#Η ανακατασκευή του Βιέτ|ανακατασκευή του Βιέτ]], οι τρεις δεδομένοι κύκλοι και ο κύκλος λύση μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ενώ διατηρούν την επαφή τους. Έτσι το αρχικό απολλώνιο πρόβλημα μετασχηματίζεται σε ένα άλλο που ενδεχομένω είναι ευκολότερο να λυθεί. Για παράδειγμα, οι τέσσερις κύκλοι μπορούν αν αλλάξουν μέγεθος ώστε ο ένας δοσμένος κύκλος να ελαττωθεί σε σημείο, εναλλακτικά, συχνά δύο δοσμένοι κύκλοι μπορούν ματαβληθούν ώστε εφάπτονται μεταξύ τους. Και τρίτον, δύο δοσμένοι κύκλοι που τέμνονται μπορούν να ρυθμιστούν ώστε να μην τέμνονται, ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί η [[#Αντιστροφή σε δακτύλιο|αντιστροφή σε δακτύλιο]]. Σε όλες αυτές τις περιπτώσει η λύση του απολλώνιο προβλήματος μπορεί να ανακτηθεί από το μετασχηματισμένο πρόβλημα με την άρση της αλλαγής μεγέθους και της αντιστροφής.
 
===== Ελάττωση ενός δοσμένου κύκλου σε σημείο =====
 
=== Η επίλυση του Ζεργκόν ===
[[Αρχείο:Apollonius problem Gergonne tangent lines.svg|thumb|right|Σχήμα 9: Οι δύο εφαπτομένες στα δύο σημεία επαφής ενός δοσμένου κύκλου τέμνονται στον [[ριζικό άξονα]] ''R'' (κόκκινη ευθεία) των δύο κύκλων λύσεων (ροζ). Τα τρία σημεία τομής στο ''R'' είναι οι πόλοι των ευθειών που συνδέουν τα μπλε σημεία επαφής σε κάθε δεδομένο κύκλο (μάυροι).]]
 
Η προσέγγιση του Ζεργκόν είναι να θεωρήσει τους κύκλους-λύσεις σε ζεύγη.<ref name="Dörrie 1965"/> Έστω ένα ζεύγος κύκλων λύσεων που σημειώνεται ως ''C''<sub>A</sub> και ''C''<sub>B</sub> (οι δύο ροζ κύκλοι στο Σχήμα&nbsp;6) και έστω τα σημεία επαφής τους με τους δοσμένους κύκλους '''A'''<sub>1</sub>, '''A'''<sub>2</sub>, '''A'''<sub>3</sub>, και '''B'''<sub>1</sub>, '''B'''<sub>2</sub>, '''B'''<sub>3</sub>, αντίστοιχα. Η επίλυση του Ζεργκόν στοχεύει στον εντοπισμό αυτών των σημείων και έτσι στην λύση για αυτούς τους δύο κύκλους. Η ενόραση του Ζεργκόν ήταν ότι η ευθεία ''L''<sub>1</sub> μπορούσε να κατασκευαστεί έτσι ώστε τα '''A'''<sub>1</sub> και '''B'''<sub>1</sub> να βρίσκονται οπωσδήποτε πάνω της, αυτά τα σημεία μπορούν να αναγνωριστούν ως τα σημεία τομής της ''L''<sub>1</sub> με τον δοσμένο κύκλο ''C''<sub>1</sub> (Σχήμα&nbsp;6). Τα υπόλοιπα τέσσερα σημεία επαφής μπορούν να εντοπιστούν με παρόμοιο τρόπο, βρίσκοντας τις ευθείες ''L''<sub>2</sub> and ''L''<sub>3</sub> που περιέχουν τα '''A'''<sub>2</sub> και '''B'''<sub>2</sub>, και '''A'''<sub>3</sub> και '''B'''<sub>3</sub> αντίστοιχα. Για την κατασκευή μιας ευθείας όπως η ''L''<sub>1</sub>, δύο σημεία πρέπει να αναγνωριστούν ότι βρίσκονται πάνω της, αλλά αυτά τα σημεία δεν είναι κατ' ανάγκη σημεία επαφής. Ο Ζεργκόν μπόρεσε να αναγνωρίσει δύο άλλα σημεία για κάθε μία από τις τρεις ευθείες. Ένα από τα δύο σημεία είχε ήδη αναγνωριστεί: το [[ριζικό κέντρο]] '''G''' κείται και στις τρεις ευθείες (Σχήμα &nbsp;6).
 
Για τον εντοπισμό ενός δεύτερου σημείου των ευθειών ''L''<sub>1</sub>, ''L''<sub>2</sub> και ''L''<sub>3</sub>, ο Ζεργκόν παρατήρησε ότι υπάρχει παλινδρομική σχέση μεταξύ αυτών των ευθειών και του ριζικού άξονα ''R'' των κύκλων λύσεων, ''C''<sub>A</sub> και ''C''<sub>B</sub>. Για να γίνει κατανοητή αυτή η σχέση, ας θεωρηθούν δύο εφαπτόμενες ευθείες στον κύκλο ''C''<sub>1</sub> στα σημεία επαφής '''A'''<sub>1</sub> και '''B'''<sub>1</sub> με τον κύκλο-λύση. Η τομή αυτών των εφαπτόμενων είναι ο [[πόλος (γεωμετρία)|πόλος]] της ''L''<sub>1</sub> στον ''C''<sub>1</sub>. Αφού οι αποστάσεις από τον πόλο στα σημεία επαφής '''A'''<sub>1</sub> και '''B'''<sub>1</sub> είναι ίσες, ο πόλος πρέπει επίσης να βρίσκεται στον ριζικό άξονα ''R'' των κύκλων-λύσεων, εξ ορισμού (Σχήμα&nbsp;9). Η σχέση μεταξύ των των πόλων και των πολικών ευθειών είναι παλινδρομική, αν ο πόλος της ''L''<sub>1</sub> στον''C''<sub>1</sub> βρίσκεται στον ''R'', ο πόλος του ''R'' στον ''C''<sub>1</sub> βρίσκεται αντίστοιχα στην ''L''<sub>1</sub>. Έτσι αν μπορεί να κατασκευαστεί ο ''R'', μπορεί να βρεθεί ο πόλος του '''P'''<sub>1</sub> στον ''C''<sub>1</sub> και έτσι να βρεθεί το ζητούμενο δεύτερο σημείο της ''L''<sub>1</sub> (Σχήμα &nbsp;10).
 
[[Αρχείο:Apollonius problem Gergonne poles.svg|thumb|left|Figure 10: Οι πόλοι (κόκκινα σημεία) του ριζικού άξονα ''R'' στους τρεις δοσμένους κύκλους βρίσκονται στις πράσινες γραμμές που ενώνουν τα σημεία επαφής. Αυτές οι ευθείες μπορούν να κατασκευαστούν από τους πόλους και το [[ριζικό κέντρο]] (πορτοκαλί).]]
 
{{Ενσωμάτωση κειμένου|en|Problem of Apollonius}}
 
{{Αξιόλογο άρθρο}}
 
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία]]
6.004

επεξεργασίες