Απολλώνιο πρόβλημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Η επίλυση του [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] (1596) βασίζεται στην τομή δύο [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολών]].<ref name="van_roomen_1596"/><ref name="van roomen by newton"/> Έστω οι δεδομένοι κύκλοι ''C''₁, ''C''₂ και ''C''₃. Ο φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα λύνοντας το απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης των κύκλων που είναι εφαπτόμενοι σε ''δύο'' δεδομένους κύκλους, όπως ο ''C''₁ και ο ''C''₂. Παρατήρησε ότι το κέντρο του εφαπτόμενου κύκλου πρέπει να βρίσκεται επί [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολής]] της οποίας οι [[εστία (γεωμετρία)|εστίες]] είναι τα κέντρα των δεδομένων κύκλων. Για να γίνει πιο κατανοητό αυτό έστω οι ακτίνες του κύκλου-λύση και των δεδομένων κύκλων ''r''_''s'', ''r''_''1'' και ''r''_''2'', αντίστοιχα (Σχήμα 3). Η απόσταση ''d''₁ μεταξύ των κέντρων της λύσης και του ''C''₁ είναι είτε {{nowrap|''r''_''s'' + ''r''_''1''}} είτε {{nowrap|''r''_''s'' − ''r''_''1''}} ανάλογα με το αν οι κύκλοι έχουν εκλεγεί να εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά αντίστοιχα. Παρομοίως η απόσταση ''d''₂ μεταξύ των κέντρων του κύκλου-λύση και του ''C''₂ είναι είτε {{nowrap|''r''_''s'' + ''r''_''2''}} είτε {{nowrap|''r''_''s'' − ''r''_''2''}} ξανά αναλόγως με των τρόπο που εφάπτονται. Έτσι η διαφορά {{nowrap|''d''₁ − ''d''₂}} μεταξύ αυτών των αποστάσεων είναι πάντα μία σταθερά η οποία είναι ανεξάρτητη του ''r''_''s''. Αυτή η ιδιότητα, της σταθερής διαφοράς μεταξύ των αποστάσεων από τις εστίες χαρακτηρίζει τις υπερβολές, έτσι τα πιθανά κέντρα του κύκλου-λύση βρίσκονται επί μίας υπερβολής. Μία δεύτερη υπερβολή μπορεί να σχεδιαστεί από το ζεύγος των δεδομένων κύκλων ''C''₂ και ''C''₃, όπου η εσωτερική ή εξωτερική επαφή της λύσης πρέπει να εκλεγεί σε συνέπεια με την πρώτη υπερβολή. Η τομή αυτών των δύο υπερβολών (αν υπάρχει) δίνει το κέντρο του κύκλου-λύση που έχει τις επιλεγμένες εσωτερικές ή εξωτερικές επαφές προς τους τρεις δεδομένους κύκλους. Το πλήρες σύνολο των λύσεων του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να βρεθεί αν ληφθούν υπόψη όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί εσωτερικών και εξωτερικών επαφών του κύκλου-λύση προς τους τρεις δεδομένους.

Για να λύσει τα υπόλοιπα προβλήματα ο Βιέτ εκμεταλλεύτηκε το γεγονός ότι οι κύκλοι μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ανά ζεύγη διατηρώντας ωστόσο την επαφή τους (Σχήμα&nbsp;4). Αν η ακτίνα του κύκλου-λύση αλλάξει κατά Δ''r'', η ακτίνα του εσωτερικά εφαπτόμενου κύκλου πρέπει αντίστοιχα να αλλάξει κατά Δ''r'', ενώ οι ακτίνες των εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων πρέπει να αλλάξουν κατά −Δ''r''. Έτσι καθώς ο κύκλος-λύση μεγαλώνει, οι εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι πρέπει να μεγαλώσουν, ενώ οι εξωτερικά πρέπει να μικρύνουν ώστε να διατηρηθεί η επαφή.

Όπου ''M'', ''N'', ''P'' και ''Q'' είναι γνωστές συναρτήσεις των δοθέντων κύκλων και της επιλογής των ''s_i''. Η αντικατάσταση αυτών των εξισώσεων σε μία από τις αρχικές τρεις εξισώσεις δίνει μία δευτεροβάθμια εξίσωση για το ''r''_''s''. Η αντικατάσταση της τιμής του ''r''_''s'' που προκύπτει από αυτή στις γραμμικές εξισώσεις δίνει τις αντίστοιχες τιμές ''x''_''s'' και ''y''_''s''.

Το πλεονέκτημα αυτής της επαναδιατύπωσης είναι ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν θεωρήματα της [[γραμμική άλγεβρα|γραμμικής άλγεβρας]] για τον μέγιστο αριθμό [[γραμμική ανεξαρτησία|γραμμικά ανεξάρτητων]], ταυτόχρονα κάθετων διανυσμάτων. Αυτό παρέχει ένα ακόμα τρόπο να υπολογιστεί ο μέγιστος αριθμός των λύσεων καθώς και να επεκταθεί το θεώρημα σε χώρους περισσοτέρων διαστάσεων.<ref name="zlobec_2001" /><ref name="knight_2005" />

Όταν δύο από τους δοσμένους κύκλους είναι ομόκεντροι, το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να λυθεί εύκολα χρησιμοποιώντας μία μέθοδο του [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους|Γκάους]].<ref name="gauss_1810" /> Οι ακτίνες των τριών δεδομένων κύκλων είναι γνωστές, όπως και η απόσταση ''d''_non από το κοινό κέντρο των ομόκεντρων στο κέντρο του μη ομόκεντρου κύκλου (Σχήμα&nbsp;7). Ο κύκλος λύση μπορεί να καθοριστεί από την ακτίνα του, ''r''_s, την γωνία θ, και τις αποστάσεις ''d''_s και ''d''_T από το κέντρο του στο κοινό κέντρο των ομόκεντρων και στο κέντρο του μη ομόκεντρου κύκλου αντίστοιχα. Η ακτίνα και η απόσταση ''d''_s είναι γνωστά (Σχήμα&nbsp;7) και η απόσταση ''d''_T = ''r''_s ± ''r''_non, αναλόγως με το αν ο κύκλος λύση είναι εφαπτόμενος εσωτερικά ή εξωτερικά στον μη ομόκεντρο κύκλο. Έτσι από τον [[Νόμος συνημιτόνων|νόμο των συνημιτόνων]]

Η χρησιμότητα της [[Γεωμετρία της αντιστροφής|αντιστροφής]] μπορεί να αυξηθεί σημαντικά με την αλλαγή μεγέθους.<ref name="johnson_1929"/><ref name="ogilvy_1969"/> Όπως σημειώθηκε στην [[#Η ανακατασκευή του Βιέτ|ανακατασκευή του Βιέτ]], οι τρεις δεδομένοι κύκλοι και ο κύκλος λύση μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ενώ διατηρούν την επαφή τους. Έτσι το αρχικό απολλώνιο πρόβλημα μετασχηματίζεται σε ένα άλλο που ενδεχομένω είναι ευκολότερο να λυθεί. Για παράδειγμα, οι τέσσερις κύκλοι μπορούν αν αλλάξουν μέγεθος ώστε ο ένας δοσμένος κύκλος να ελαττωθεί σε σημείο, εναλλακτικά, συχνά δύο δοσμένοι κύκλοι μπορούν ματαβληθούν ώστε εφάπτονται μεταξύ τους. Και τρίτον, δύο δοσμένοι κύκλοι που τέμνονται μπορούν να ρυθμιστούν ώστε να μην τέμνονται, ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί η [[#Αντιστροφή σε δακτύλιο|αντιστροφή σε δακτύλιο]]. Σε όλες αυτές τις περιπτώσει η λύση του απολλώνιο προβλήματος μπορεί να ανακτηθεί από το μετασχηματισμένο πρόβλημα με την άρση της αλλαγής μεγέθους και της αντιστροφής.

[[Αρχείο:Apollonius problem Gergonne tangent lines.svg|thumb|right|Σχήμα 9: Οι δύο εφαπτομένες στα δύο σημεία επαφής ενός δοσμένου κύκλου τέμνονται στον [[ριζικό άξονα]] ''R'' (κόκκινη ευθεία) των δύο κύκλων λύσεων (ροζ). Τα τρία σημεία τομής στο ''R'' είναι οι πόλοι των ευθειών που συνδέουν τα μπλε σημεία επαφής σε κάθε δεδομένο κύκλο (μάυροι).]]

Για τον εντοπισμό ενός δεύτερου σημείου των ευθειών ''L''₁, ''L''₂ και ''L''₃, ο Ζεργκόν παρατήρησε ότι υπάρχει παλινδρομική σχέση μεταξύ αυτών των ευθειών και του ριζικού άξονα ''R'' των κύκλων λύσεων, ''C''_A και ''C''_B. Για να γίνει κατανοητή αυτή η σχέση, ας θεωρηθούν δύο εφαπτόμενες ευθείες στον κύκλο ''C''₁ στα σημεία επαφής '''A'''₁ και '''B'''₁ με τον κύκλο-λύση. Η τομή αυτών των εφαπτόμενων είναι ο [[πόλος (γεωμετρία)|πόλος]] της ''L''₁ στον ''C''₁. Αφού οι αποστάσεις από τον πόλο στα σημεία επαφής '''A'''₁ και '''B'''₁ είναι ίσες, ο πόλος πρέπει επίσης να βρίσκεται στον ριζικό άξονα ''R'' των κύκλων-λύσεων, εξ ορισμού (Σχήμα&nbsp;9). Η σχέση μεταξύ των των πόλων και των πολικών ευθειών είναι παλινδρομική, αν ο πόλος της ''L''₁ στον''C''₁ βρίσκεται στον ''R'', ο πόλος του ''R'' στον ''C''₁ βρίσκεται αντίστοιχα στην ''L''₁. Έτσι αν μπορεί να κατασκευαστεί ο ''R'', μπορεί να βρεθεί ο πόλος του '''P'''₁ στον ''C''₁ και έτσι να βρεθεί το ζητούμενο δεύτερο σημείο της ''L''₁ (Σχήμα &nbsp;10).