Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Exc (συζήτηση | συνεισφορές) |
Exc (συζήτηση | συνεισφορές) Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 60:
b^3
\end{bmatrix}</math>.
=== Ομάδα Γαλιλαίου ===
Αν έχουμε τρία αδρανειακά συστήματα αναφοράς Ο<sub>1</sub>, Ο<sub>2</sub>, Ο<sub>3</sub>, τότε οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου από το ένα σύστημα στο άλλο και συγκεκριμένα από το Ο<sub>1</sub> στο Ο<sub>2</sub> και από το Ο<sub>2</sub> στο Ο<sub>3</sub> είναι:
<math>X_2=G_1X_1+b_1</math> και <math>X_3=G_2X_2+b_2</math>.<br />
Αντικαθιστώντας το Χ<sub>2</sub> στην τελεταία, έχουμε: <math>G_2G_1X_1+G_2b_1+b_2</math>. Μπορούμε να δείξουμε ότι και αυτός ο τελευταίο μετασχηματισμός που εκφράσει έναν άμεσο μετασχηματισμό από το Ο<sub>1</sub> στο Ο<sub>3</sub> είναι μετασχηματισμός Γαλιλαίου.<br />
Πιο συγκεκριμένα θα δείξουμε ότι το σύνολο των γενικών μετασχηματισμών του Γαλιλαίου με την πράξη <math>g_1(G_1,b1)*g_2(G_2,b2)=g(G_2G_1,G_2b_1+b_2)</math>, όπου g<sub>1</sub>, g<sub>2</sub>: Γαλιλαϊκοί(g) μετασχηματισμοί, αποτελεί [[Ομάδα|ομάδα]].
==== Απόδειξη ====
* Κλειστότητα.
Έχουμε: <math>g_1(G_1,b1)*g_2(G_2,b2)=(G_2G_1,G_2b_1+b_2)</math>. Θέτουμε <math>G=G_2G_1</math> και <math>b=G_2b_1+b_2</math>. Οπότε ο μετασχηματισμό γίνεται: <math>(G_2G_1,G_2b_1+b_2)=g(G,b)</math> που είναι Γαλιλαϊκός άρα πράγματι το σύνολο των Γαλιλαϊκών μετασχηματισμών με την πράξη που ορίστηκε πιο πάνω είναι κλειστό, δηλαδή η πράξη οδηγεί σε στοιχεία του ίδιου συνόλου.
* Προσαιτεριστική ιδιότητα.
Έχουμε: <math>(g_1*g_2)*g_3=g_{1,2}(G_2G_1,G_2b_1+b_2)*g_3(G_3,b_3)=g(G_3G_2G_1,G_3G_2b_1+G_3b_2+b_3)</math><br />
και: <math>g_1*(g_2*g_3)=g_1(G_1,b_1)*g_{2,3}(G_3G_2,G_3b_2+b_3)=g'(G_3G_2G_1,G_3G_2b_1+G_3b_2+b_3)</math>.<br />
Παρατηρούμε ότι: <math>g=g'</math>, άρα υπάρχει η προσεταιριστική ιδιότητα.
* Ουδέτερο Στοιχείο.
Πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχει στοιχείο g<sub>0</sub>, τέτοιο ώστε: <math>g*g_0=g</math>.<br />
Έχουμε: <math>g*g_0=g \Rightarrow g(G,b)*g_0(G_0,b_0)=g(G,b)\Rightarrow (G_0G,G_0b+b_0)=(G,b)</math>.<br />
Αυτό συμβαίνει όταν: <math>G_0G=G \Rightarrow G_0=I</math> και συνεπώς όταν: <math>G_0b+b_0=b \Rightarrow Ib+b_0=b \Rightarrow b_0=0</math>.<br />
Άρα υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο της πράξης (*) μεταξύ των Γαλιλαϊκών μετασχηματισμών και αυτό είναι το <math>g_0(I,0)</math>.
* Αντίστροφο Στοιχείο.
Πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχει στοιχείο g<sub>0</sub>, τέτοιο ώστε όταν πολλαπλασιαστεί με το g να μας δώσει το ουδέτερο στοιχείο της οριζόμενης πράξης: <math>g*g_0=(I,0)</math>.<br />
Έχουμε: <math>g*g_0=(I,0) \Rightarrow g(G,b)*g_0(G_0,b_0)=(I,0) \Rightarrow (G_0G,G_0b+b_0)=(I,0)</math>.<br />
Αυτό συμβαίνει όταν: <math>G_0G=I \Rightarrow G_0=G^{-1}</math> και όταν: <math>G_0b+b_0=0 \Rightarrow b_0=-G^{-1}b</math>.<br />
Άρα υπάρχει το αντίστροφο στοιχείο του g(G,b) και αυτό είναι το: <math>g_0(G^{-1},-G^{-1}b)</math>.<br />
<br />
Και άρα απεδείχθη το ζητούμενο.
== Μετασχηματισμός Γαλιλαίου και Κυματικός Τελεστής==
| |||