[[Αρχείο:Squaring the circle.png|right|thumb|Το <font color="green">πράσινο</font> τετράγωνο και ο <font color="bluen">μπλε</font> κύκλος του σχήματος έχουν το ίδιο εμβαδόν.]]
Ο '''Τετραγωνισμός του κύκλου''' είναι ένα από τα αρχαιότερα [[γεωμετρία|γεωμετρικά]] προβλήματα. Η διατύπωση του είναι απλή: Ζητείται η [[κατασκευή με κανόνα και διαβήτη]] ενός [[τετράγωνο|τετραγώνου]] του οποίου το [[εμβαδόν]] να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος [[κύκλος|κύκλου]]. Το [[1882]], ο μαθηματικός [[Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν]] (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε το αδύνατο της επίλυσης του προβλήματος.
== Το πρόβλημα ==
[[Αρχείο:Cuadratura-circulo-02.png|right|thumb|Ο κύκλος και το τετράγωνο του σχήματος έχουν το ίδιο εμβαδόν. Παρόλα αυτά δεν υπάρχει μια γεωμετρική μέθοδος που επιτρέπει να μεταβαίνουμε από το σχήμα στα αριστερά στα σχήμα στα δεξιά.]]
''Τετραγωνίζω τον κύκλο'' σημαίνει ότι κατασκευάζω, με γεωμετρική ή [[άλγεβρα|αλγεβρική]] μέθοδο, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου.
Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει:
* να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η [[απόδειξη (μαθηματικά)|απόδειξη]] να ανάγεται πλήρως στα [[θεωρήματα του Ευκλείδη|θεωρήματα]] του [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]], και
* να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.
Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς.
Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την [[υπερβατικός αριθμός|υπερβατικότητα]] του [[αριθμός π|αριθμού '''π''']]: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό στην περίπτωση που ο αριθμός π είναι υπερβατικός, οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. Πράγματι, το ενδιαφέρον για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίζεται το 1882, όταν ο [[Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν]] (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός.
