Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

μ
καμία σύνοψη επεξεργασίας
[[Αρχείο:Apollonius problem typical solution.svg|thumb|right|Σχήμα 1: Μία λύση (με ροζ) στο Απολλώνιο πρόβλημα. Οι δοσμένοι κύκλοι σημειώνονται με μαύρο.]]
 
[[Αρχείο:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg|thumb|right|Σχήμα 2: Τέσσερα συμπληρωματικά ζέυγηζεύγη λύσεων του Απολλώνιου προβλήματος. Οι δοσμένοι κύκλοι σημειώνονται με μαύρο.]]
 
Στην [[Ευκλείδεια γεωμετρία|Ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου]] το '''Απολλώνιο πρόβλημα''' συνίσταται στην κατασκευή [[Κύκλος|κύκλων]] που να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο (Σχήμα 1). Το πρόβλημα έθεσε και έλυσε ο [[Απολλώνιος ο Περγαίος]] (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.χ.) στο έργο του ''{{πολυτονικό|Ἐπαφαί}}''. Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί και σώζονται μόνο αναφορές στα αποτελέσματά του από τον [[Πάππος|Πάππο]]. Για τρεις δεδομένους κύκλους εν γένει υπάρχουν οκτώ διαφορετικοί κύκλοι που εφάπτονται σε αυτούς (Σχήμα 2) και κάθε κύκλος περικλείει η όχι τους τρεις κατά διαφορετικό τρόπο.
Ο κύκλος-λύση μπορεί να είναι είτε εξωτερικά είτε εσωτερικά εφαπτόμενος σε κάθε ένα από τους δεδομένους κύκλους. Δύο κύκλοι είναι ''εξωτερικά εφαπτόμενοι'' όταν αποκλίνουν ο ένας από τον άλλον στο σημείο επαφής, και βρίσκονται σε αντίθετες μεριές της [[εφαπτόμενες ευθείες σε κύκλο|εφαπτομένης]] σε εκείνο το σημείο, καθώς και αλληλοαποκλείονται. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους ισούται με το άθροισμα των ακτίνων τους. Αντιθέτως είναι ''εσωτερικά εφαπτόμενοι'' όταν και οι δύο κύκλοι κλίνουν με τον ίδιο τρόπο στο σημείο επαφής, βρίσκονται στην ίδια μεριά της εφαπτόμενης ευθείας και ο ένας κύκλος περικλείει τον άλλο. Σε αυτή την περίπτωση η απόσταση των κέντρων τους ισούται με την διαφορά των ακτίνων τους. Για παράδειγμα στο Σχήμα 1 ο κύκλος της ροζ λύσης εφάπτεται εσωτερικά στον μεσαίου μεγέθους δεδομένο μαύρο κύκλο στα δεξιά, ενώ είναι εξωτερικά εφαπτόμενος στον μικρότερο και στον μεγαλύτερο δεδομένο κύκλο στα αριστερά.
 
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να μετασχηματιστεί ως το πρόβλημα εύρεσης ενός ή περισσοτέρων σημείων, τέτοιων ώστε οι διαφορές των αποστάσεων τους από τρία δεδομένα σημεία να ισούνται με τρεις γνωστές τιμές. Έστω ένα κύκλος-λύση ακτίνας ''r''<sub>''s''</sub> και τρεις δεδομένοι κύκλοι με ακτίνες ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub> και ''r''<sub>3</sub>. Αν ο κύκλος λύση είναι εξωτερικά εφαπτόμενος και στους τρεις δεδομένους κύκλους, οι αποστάσεις του κέντρου του από τα κέντρα των δεδομένωδεδομένων κύκλων ισούνται με {{nowrap|''d''<sub>1</sub> {{=}} ''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>''s''</sub>}}, {{nowrap|''d''<sub>2</sub> {{=}} ''r''<sub>2</sub> + ''r''<sub>''s''</sub>}} και {{nowrap|''d''<sub>3</sub> {{=}} ''r''<sub>3</sub> + ''r''<sub>''s''</sub>}}, αντίστοιχα. Συνεπώς οι διαφορές αυτών των αποστάσεων είναι σταθερές, όπως {{nowrap|''d''<sub>1</sub> − ''d''<sub>2</sub> {{=}} ''r''<sub>1</sub> − ''r''<sub>2</sub>}}. Εξαρτώνται μόνο από τις γνωστές ακτίνες των δεδομένων κύκλων και όχι από την ακτίνα του κύκλου-λύση ''r''<sub>''s''</sub>, η οποία απαλείφεται. Ο δεύτερος μετασχηματισμός του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να γενικευθεί και για εσωτερικώς εφαπτόμενους κύκλους-λύσεις (για τους οποίους η απόσταση από κέντρο σε κέντρο ισούται με την διαφορά των ακτίνων), αλλάζοντας τις αντίστοιχες διαφορές αποστάσεων σε αθροίσματα αποστάσεων έτσι ώστε η ακτίνα ''r''<sub>''s''</sub> του κύκλου-λύση πάλι να απαλειφθεί. Ο επαναμετασχηματισμός των αποστάσεων των κέντρων είναι χρήσιμος στις [[#Τεμνόμενες υπερβολές|παρακάτω λύσεις]] του [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] και του [[Ισαάκ Νιούτον]], καθώς και στον [[υπερβολικός προσδιορισμός θέσης|υπερβολικό προσδιορισμό θέσης]] με τον οποίο εντοπίζεται μία θέση από τις διαφορές στις αποστάσεις από τρία γνωστά σημεία. Για παράδειγμα, συστήματα πλοήγησης όπως το [[Συσκευή Λοράν|LORAN]] αναγνωρίζουν την θέση του δέκτη από τις διαφορές των χρόνων άφιξης των σημάτων από τρις διαφορετικές σταθερές θέσεις, που αντιστοιχούν στις διαφορές αποστάσεων από αυτούς τους πομπούς.<ref name="Hofmann-Wellenhof"/><ref name="Schmidt 1972"/>
 
== Ιστορία ==
Αρκετές άλλες γεωμετρικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Η πιο σημαντικές από αυτές ήταν του [[Ζαν-Βικτόρ Πονσελέ]] (''Jean-Victor Poncelet'') (1811)<ref>{{cite journal| author = [[Jean-Victor Poncelet|Poncelet J-V]]| month = January| year = 1811| title = Solutions de plusieurs problêmes de géométrie et de mécanique| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 3| pages = pp. 271–273}} {{fr icon}}</ref> και του [[Ζοζέφ Ντιάζ Ζεργκόν]] (1814).<ref name="gergonne_1814" >{{cite journal| author = [[Joseph Diaz Gergonne|Gergonne J]]| date = 1813–1814|title = Recherche du cercle qui en touche trois autres sur une sphère| journal = Ann. Math. Pures appl.|volume = 4}} {{fr icon}}</ref> Ενώ η μέθοδος του Πονσελέ βασίζονταν στα [[ομοθετικό κέντρο|ομοθετικά κέντρα]] των κύκλων και στο θεώρημα της [[δύναμη σημείου|δύναμης σημείου]], η μέθοδος του Ζεργκόν εκμεταλλεύτηκε την αντιδιαμετρική σχέση μεταξύ των ευθειών και των [[πόλος (γεωμετρία)|πόλων]] τους σε ένα κύκλο. Μεθόδους που χρησιμοποιούσαν [[γεωμετρία της αντιστροφής]] πρότεινες πρώτος ο [[Γιούλιους Πέτερσεν]] (''Julius Petersen'') το 1879.<ref name="petersen_1879">{{cite book| author = [[Julius Petersen|Petersen J]]| year = 1879| title = Methods and Theories for the Solution of Problems of Geometrical Constructions, Applied to 410 Problems| publisher = Sampson Low, Marston, Searle & Rivington| location = London| pages = 94–95 (Example 403)}}</ref> Ένα παράδειγμα είναι η μέθοδος της δακτυλιοειδούς λύσης του ''[[Harold Scott MacDonald Coxeter|HSM Coxeter]]''.<ref name="coxeter_1968" >{{cite journal| author = [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter HSM]]| year = 1968| title = The Problem of Apollonius| journal = The American Mathematical Monthly| volume = 75| pages = pp. 5–15| doi = 10.2307/2315097| issn = 00029890| month = Jan| day = 01| issue = 1}}</ref> Μια άλλη προσέγγιση χρησιμοποιεί την [[σφαιρική γεωμετρία Lie]],<ref name="zlobec_2001" /> που αναπτύχθηκε από τον [[Sophus Lie]].
 
ΑλγβρικέςΑλγεβρικές λύσεις στο απολλώνιο πρόβλημα δόθηκαν για πρώτη φορά τον 17ο αιώνα από τον [[Ρενέ Ντεκάρτ]] και την [[Ελισάβετ της Βοημίας]], αν και αρκετά πολύπλοκες.<ref name="altshiller-court_1961" /> Πρακτικές αλγεβρικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν στα ΄τελητέλη του 18ου και τον 19ο αιώνα από αρκετούς μαθηματικούς όπως ο [[Λέοναρντ Όιλερ]],<ref>{{cite journal| author = [[Leonhard Euler|Euler L]]| year = 1790| title = Solutio facilis problematis, quo quaeritur circulus, qui datos tres circulos tangat| journal = Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae| volume = 6| pages = 95–101| url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E648.pdf|format=PDF}} {{la icon}} Reprinted in Euler's ''Opera Omnia'', series 1, volume 26, pp. 270–275.</ref> ο [[Νίκολας Φους]],<ref name="altshiller-court_1961" /> [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]],<ref name="gauss_1810" >{{cite book| author = [[Carl Friedrich Gauss|Gauss CF]]| year = 1873| title = Werke, 4. Band| publisher = Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften| location = Göttingen| edition = reprinted in 1973 by Georg Olms Verlag (Hildesheim)| pages = 399–400| isbn = 3-487-04636-9}} {{de}}</ref> ο [[Λαζάρ Καρνό]],<ref name="carnot_1803a" >{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1801| title = De la corrélation dans les figures de géométrie| publisher = Unknown publisher| location = Paris| pages = No. 158–159}} {{fr icon}}<br />{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1803| title = Géométrie de position| publisher = Unknown publisher| location = Paris| pages = 390, §334}} {{fr icon}}</ref> και ο [[Αγκουστίν Λουί Κοσί]].<ref>{{cite journal| author = [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy AL]]| month = July| year = 1806| title = Du cercle tangent à trois cercles donnés| journal = Correspondance sur l'École Polytechnique| volume = 1| issue = 6| pages = pp. 193–195}} {{fr icon}}</ref>
 
== Μέθοδοι επίλυσης ==
Η επίλυση του [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] (1596) βασίζεται στην τομή δύο [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολών]].<ref name="van_roomen_1596"/><ref name="van roomen by newton"/> Έστω οι δεδομένοι κύκλοι ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub> και ''C''<sub>3</sub>. Ο φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα λύνοντας το απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης των κύκλων που είναι εφαπτόμενοι σε ''δύο'' δεδομένους κύκλους, όπως ο ''C''<sub>1</sub> και ο ''C''<sub>2</sub>. Παρατήρησε ότι το κέντρο του εφαπτόμενου κύκλου πρέπει να βρίσκεται επί [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολής]] της οποίας οι [[εστία (γεωμετρία)|εστίες]] είναι τα κέντρα των δεδομένων κύκλων. Για να γίνει πιο κατανοητό αυτό έστω οι ακτίνες του κύκλου-λύση και των δεδομένων κύκλων ''r''<sub>''s''</sub>, ''r''<sub>''1''</sub> και ''r''<sub>''2''</sub>, αντίστοιχα (Σχήμα 3). Η απόσταση ''d''<sub>1</sub> μεταξύ των κέντρων της λύσης και του ''C''<sub>1</sub> είναι είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> + ''r''<sub>''1''</sub>}} είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> − ''r''<sub>''1''</sub>}} ανάλογα με το αν οι κύκλοι έχουν εκλεγεί να εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά αντίστοιχα. Παρομοίως η απόσταση ''d''<sub>2</sub> μεταξύ των κέντρων του κύκλου-λύση και του ''C''<sub>2</sub> είναι είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> + ''r''<sub>''2''</sub>}} είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> − ''r''<sub>''2''</sub>}} ξανά αναλόγως με των τρόπο που εφάπτονται. Έτσι η διαφορά {{nowrap|''d''<sub>1</sub> − ''d''<sub>2</sub>}} μεταξύ αυτών των αποστάσεων είναι πάντα μία σταθερά η οποία είναι ανεξάρτητη του ''r''<sub>''s''</sub>. Αυτή η ιδιότητα, της σταθερής διαφοράς μεταξύ των αποστάσεων από τις εστίες χαρακτηρίζει τις υπερβολές, έτσι τα πιθανά κέντρα του κύκλου-λύση βρίσκονται επί μίας υπερβολής. Μία δεύτερη υπερβολή μπορεί να σχεδιαστεί από το ζεύγος των δεδομένων κύκλων ''C''<sub>2</sub> και ''C''<sub>3</sub>, όπου η εσωτερική ή εξωτερική επαφή της λύσης πρέπει να εκλεγεί σε συνέπεια με την πρώτη υπερβολή. Η τομή αυτών των δύο υπερβολών (αν υπάρχει) δίνει το κέντρο του κύκλου-λύση που έχει τις επιλεγμένες εσωτερικές ή εξωτερικές επαφές προς τους τρεις δεδομένους κύκλους. Το πλήρες σύνολο των λύσεων του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να βρεθεί αν ληφθούν υπόψη όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί εσωτερικών και εξωτερικών επαφών του κύκλου-λύση προς τους τρεις δεδομένους.
 
Ο [[Ισαάκ Νιούτον]] (1687) βελτίωσε την λύση του φαν Ρόομεν, έτσι ώστε τα κέντρα του κύκλου-λύση να βρίσκονται στην τομητομή μιας ευθείας και ενός κύκλου.<ref name="Newton_1687"/> Ο Νιούτον διατύπωσε το απολλώνιο πρόβλημα ως πρόβλημα [[τριπλευρισμός|τριπλευρισμού]] (''trilateration''), στον εντοπισμό θέσης του σημείου '''Ζ''' από τρία δεδομένα σημεία '''A''', '''B''' και '''C''', τέτοια ώστε οι αποστάσεις από το '''Z''' στα τρία δεδομένα σημεία να έχουν γνωστές τιμές. <ref name="Hoshen 1996"/> Αυτά τα τέσσερα σημεία αντιστοιχούν στο κέντρο του κύκλου-λύση ('''Z''') και στα κέντρα των δεδομένων κύκλων ('''A''', '''B''' and '''C''').
[[Αρχείο:Apollonius circle definition labels.svg|thumb|left|Ο [[γεωμετρικός τόπος]] των σημείων με σταθερό λόγο αποστάσεων ''d''<sub>1</sub>/''d''<sub>2</sub> προς δύο σταθερά σημεία είναι κύκλος.]]
 
Αντί να επιλύσει για τις δύο υπερβολές, ο Νιούτον κατασκεύασε τις [[κωνικές τομές|δδιευθετούσεςδιευθετούσες ευθείες]]. Για κάθε υπερβολή, ο λόγος των αποστάσεων από ένα σημείο '''Z''' προς μία εστία '''A''' και προς την διευθετούσα είναι μία σταθερά που καλείται [[εκκεντρότητα]]. Οι δύο διευθετούσες τέμνονται στο σημείο '''T''' και από τους δύο γνωστούς λόγους των αποστασεώναποστάσεών τους, ο Νιούτον κατασκεύασε μία ευθεία που περνά από το το '''Τ''' επί της οποίας πρέπει να βρίσκεται και το '''Z'''. Εντούτοις ο λόγος TZ/TA είναι επίσης γνωστός, έτσι το '''Z''' βρίσκεται επίσης σε ένα γνωστό κύκλο., αφού ο Απολλώνιος έδειξε ότι ένας κύκλος μπορεί να οριστεί ως το σύνολο των σημείων που έχουν ένα δεδομένο σταθερό λόγο αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία. (Αυτός ο ορισμός είναι και η βάση των [[διπολικές συντεταγμένες|διπολικών συντεταγμένων]]) Έτσι οι λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα είναι τα τομές ευθείας με κύκλο.
 
=== Η ανακατασκευή του Βιέτ ===
Για να λύσει τα υπόλοιπα προβλήματα ο Βιέτ εκμεταλλεύτηκε το γεγονός ότι οι κύκλοι μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ανά ζεύγη διατηρώντας ωστόσο την επαφή τους (Σχήμα&nbsp;4). Αν η ακτίνα του κύκλου-λύση αλλάξει κατά Δ''r'', η ακτίνα του εσωτερικά εφαπτόμενου κύκλου πρέπει αντίστοιχα να αλλάξει κατά Δ''r'', ενώ οι ακτίνες των εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων πρέπει να αλλάξουν κατά −Δ''r''. Έτσι καθώς ο κύκλος-λύση μεγαλώνει, οι εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι πρέπει να μεγαλώσουν, ενώ οι εξωτερικά πρέπει να μικρύνουν ώστε να διατηρηθεί η επαφή.
 
Ο Βιέτ χρησιμοποίησε αυτή την προσέγγιση ώστε να μετατρέψει ένα από τους δοσμένους κύκλους σε σημείο, μετασχηματίζοντας έτσι το πρόβλημα στην απλούστερη και ήδη λυμένη περίπτωση. Πρώτα έλλυσεέλυσε την περίπτωση '''KEE''' (κύκλος και δύο ευθείες) ελαττώνοντας τον κύκλο σε σημείο, μετατρέποντας το έτσι σε περίπτωση '''ΕΕΣ'''. Έπειτα έλυσε την περίπτωση '''ΚΕΣ''' (κύκλος, ευθεία, σημείο) χρησιμοποιώντας τρία λήμματα. Ελαττώνοντας ξανά ένα κύκλο σε σημείο μετασχημάτισε το πρόβλημα '''ΚΚΕ''' σε '''ΚΕΣ'''. Έπειτα έλυσε την περίπτωση '''ΚΣΣ''' και την '''ΚΚΣ''', την τελευταία χρησιμοποιώντας δύο λήμματα. Τέλος έλυσε την γενική περίπτωση '''ΚΚΚ''' (τρεις κύκλοι) ελαττώνοντας τον ένα κύκλο σε σημείο μετασχηματίζοντας το πρόβλημα σε '''ΚΚΣ'''.
 
=== Αλγεβρικές λύσεις ===
649

επεξεργασίες