Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

μ
== Ειδικές περιπτώσεις ==
=== Δέκα συνδυασμοί σημείων, κύκλων και ευθειών ===
Το απολλώνιο πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή ενός ή περισσοτέρων κύκλων που να εφάπτονται σε τρία δεδομένα αντικείμενα στο επίπεδο, τα οποία μπορεί να είναι κύκλοι, σημεία, ή ευθείες. Έτσι προκείπτουνπροκύπτουν δέκα τύποι του προβλήματος, ένας για κάθε συνδυασμό κύκλων, ευθειών και σημείων, ο καθένας από τους οποίους μπορεί να κωδικοποιηθεί με τρία γράμματα, είτε '''Κ''', '''Ε''', or '''Σ''' αναλόγως αν το στοιχείο είναι κύκλος, ευθεία ή σημείο αντίστοιχα.<ref name="special cases" /> Για παράδειγμα ο τύπος του απολλώνιου προβλήματος με ένα δεδομένο κύκλο, μία ευθεία και ένα σημείο σημειώνεται ως '''ΚΕΣ'''.
 
Μερικές από αυτές τις ειδικές περιπτώσεις είναι πολύ ευκολότερο να επιλυθούν από την γενική περίπτωση των τριών κύκλων. Οι δύο απλούστερες περιπτώσεις είναι τα προβλήματα της κατασκευής ενός κύκλου που να περνάει από τρία σημεία ('''ΣΣΣ''') ή να εφάπτεται σε τρεις ευθείες ('''ΕΕΕ'''), τα οποία επιλύθηκαν αρχικά από τον [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]] στα [[Στοιχεία]]. Για παράδειγμα το πρόβλημα '''ΣΣΣ''' μπορεί να λυθεί ως εξής. Το κέντρο του κύκλου-λύση ισαπέχει από τα τρία σημεία, και έτσι πρέπει να βρίσκεται στηνστη [[Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος|μεσοκάθετο]] κάθε δύο εξ αυτών. Έτσι το κέντρο είναι το σημείο τομής οποιονδήποτε δυο από τις μεσοκαθέτους δύο σημείων. Παρομοίως στην περίπτωση '''ΕΕΕ''' το κέντρο πρέπει να βρίσκεται στην [[Διχοτόμος γωνίας|διχοτόμο]] της γωνίας που σχηματίζεται από δύο από τις ευθείες και συνεπώς στο σημείο τομής δύο τέτοιων διχοτόμων. Εφόσον υπάρχουν δύο τέτοιες διχοτόμοι σε κάθε σημείο τομής των δεδομένων ευθειών υπάρχουν τέσσερις λύσεις στο γενικό πρόβλημα '''ΕΕΕ'''.
 
Τα σημεία και οι ευθείες μπορούν να θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις κύκλων, ένα σημείο μπορεί να θεωρηθεί ως κύκλος με απείρως μικρή ακτίνα και μία ευθεία ως κύκλος με απείρως μεγάλη, του οποίου το κέντρο βρίσκεται στο άπειρο. Από αυτή την οπτική το απολλώνιο πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή κύκλων εφαπτόμενων σε τρεις δεδομένους κύκλους. Οι υπόλοιπες εννιά περιπτώσεις μπορούν να θεωρηθούν ειδικές περιπτώσεις του γενικού προβλήματος.<ref name="special cases">{{cite book| author = Altshiller-Court N| year = 1952| title = College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle| edition = 2nd edition, revised and enlarged| publisher = Barnes and Noble| location = New York| pages = 222–227| isbn = 978-0486458052}}<br />{{cite book| author = [[Robin Hartshorne|Hartshorne, Robin]]| year = 2000| title = Geometry: Euclid and Beyond| publisher = Springer Verlag| location = New York|isbn= 978-0387986500|pages= 346–355, 496, 499}}<br />{{cite book| author = Rouché, Eugène|coauthors= Ch de Comberousse|year = 1883| title = Traité de géométrie| edition = 5th edition, revised and augmented|publisher= Gauthier-Villars|location = Paris| pages = 252–256|oclc= 252013267}} {{fr icon}}</ref><ref name="bruen_1983"/> Αυτές οι ειδικές περιπτώσεις συχνά έχουν μικρότερο αριθμό λύσεων από το γενικό πρόβλημα. Για παράδειγμα κάθε αντικατάσταση ενός δεδομένου κύκλου με σημείο υποδιπλασιάζει των αριθμό των λύσεων καθώς ένα σημείο εφάπτεται ταυτόχρονα και εσωτερικά και εξωτερικά στην λύση.
649

επεξεργασίες