Άθροιση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ r2.7.1) (Ρομπότ: Προσθήκη: ckb:کۆکردنەوە
Divineale (συζήτηση | συνεισφορές)
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 1:
Η '''Άθροιση''' είναι η [[πρόσθεση]] ενός [[σύνολο|συνόλου]] [[αριθμός|αριθμών]]. Το αποτέλεσμα της είναι το '''άθροισμα'''. Οι "αριθμοί" προς πρόσθεση μπορεί να είναι [[Φυσικός αριθμός|φυσικοί]] αριθμοί, [[Φανταστικός αριθμός|μιγαδικοί]] αριθμοί, [[πίνακας|πίνακες]], ή ακόμη πιόπιο περίπλοκα αντικείμενα. Ένα άπειρο άθροισμα είναι μιάμια λεπτή διαδικασία γνωστή ως [[σειρά]].
 
== Συμβολισμός ==
 
Το άθροισμα των 1, 2 και 4 είναι 1 + 2 + 4 = 7. Αφού για την πρόσθεση ισχύει η [[επιμεριστική ιδιότητα]], δεν παίζει ρόλο αν ερμηνεύουμε το "1 + 2 + 4" ως (1 + 2) + 4 ή ως 1 + (2 + 4). Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, οπότε οι παρενθέσεις συνήθως παραλείπονται σε ένα άθροισμα. Η πρόσθεση είναι επίσης [[Αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετική]] πράξη, οπότε η σειρά με την οποία γράφονται οι αριθμοί δεν επηρεάζει το άθροισμα.
 
Εάν ένα άθροισμα έχει πάρα πολλούς όρους, αντί να γραφτούν όλοι ξεχωριστά, το άθροισμα μπορεί να γραφτεί με ένα σύμβολο αποσιωπητικών, ώστε να σημειωθούν οι παραλειπόμενοι όροι. Κατά αυτό τον τρόπο, το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100 είναι 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.
Γραμμή 12:
:<math>\sum_{x=2}^6 x^2 = 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 90.</math>
 
Κάποιος συχνά βλέπει γενικεύσεις αυτού του συμβολισμού στην περίπτωση στην οποία παρέχεται μιάμια αυθαίρετη [[λογική συνθήκη]], και το άθροισμα κρίνεται σκόπιμο να αναχθεί σε όλες τις τιμές που αντιπροσωπεύουν την συνθήκη. Για παράδειγμα, το:
:<math>\sum_{0\le x< 100} f(x)</math>
είναι το άθροισμα της ''f''(''x'') για όλους τους ([[Ακέραιος αριθμός|ακέραιους]]) αριθμούς ''x'' στον συγκεκριμένο διάστημα, το
:<math>\sum_{x\in S} f(x)</math>
είναι το άθροισμα της ''f''(''x'') για όλους τους ακέραιους αριθμούς ''x'' σε ένα σύνολο ''S'', και το
Γραμμή 26:
 
=== Υπολογιστικός συμβολισμός ===
Τα αθροίσματα μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν σε μια [[Γλώσσα προγραμματισμού|προγραμματιστική γλώσσα]]. Το
<math> \sum_{i=m}^{n} x_{i}</math><p>
υπολογίζεται από το ακόλουθο [[πρόγραμμα υπολογιστή|πρόγραμμα]] σε [[C]] / [[C++]] / [[Javascript]]:
Γραμμή 40:
sum:=sum+x[i];
</pre>
ή, απλούστερα, σε [[Ψευδοκώδικας|Ψευδοκώδικα]]:
<pre>
sum ← 0
Γραμμή 51:
Είναι δυνατό να προστεθούν λιγότεροι από 2 αριθμοί:
* Αν προστεθεί ο μόνος όρος ''x'', τότε το άθροισμα είναι ''x''.
* Αν προστεθούν μηδενικοί όροι, τότε το άθροισμα είναι [[μηδέν]], αφού το μηδέν είναι ο [[Ουδέτερο στοιχείο|ουδέτερος όρος]] (identity element) για την πρόσθεση. Αυτό είναι γνωστό σαν το ''κενό άθροισμα''.
 
Αυτές οι εκφυλισμένες περιπτώσεις συνήθως χρησιμοποιούνται μόνο όταν ο συμβολισμός της πρόσθεσης δίνει ένα εκφυλισμένο αποτέλεσμα σε μιάμια ειδική περίπτωση. Για παράδειγμα, αν ''m = n'' στον παραπάνω ορισμό, τότε υπάρχει μόνο ένας όρος στο άθροισμα· αν ''m = n + 1'', τότε δεν υπάρχει κανένας.
 
== Προσέγγιση με ορισμένα ολοκληρώματα ==
Πολλές τέτοιες προσεγγίσεις μπορούν να ανακτηθούν από την ακόλουθη σύνδεση μεταξύ αθροισμάτων και [[Ολοκλήρωμα|ολοκληρωμάτων]], η οποία ισχύει για κάθε [[αύξουσα συνάρτηση|αύξουσα]] [[συνάρτηση]] ''f''.
 
:<math> \int_{s=a-1}^{b} f(s)\, ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\, ds.</math>
Γραμμή 72:
* <math>\sum_{i=1}^n x = nx</math>
* <math>\sum_{i=m}^n i = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}</math>
* <math>\sum_{i=0}^n i = \frac {n(n+1)}{2}</math> (βλέπε [[Αριθμητική σειρά|αριθμητικές σειρές]])
* <math>\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>
* <math>\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>
* <math>\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}</math>
:όπου <math>B_k</math> είναι ο ''k''-οστός [[αριθμός Bernoulli]].
* <math>\sum_{i=m}^n x^i = \frac{x^{n+1}-x^{m}}{x-1}</math> (βλέπε [[Γεωμετρική σειρά|γεωμετρικές σειρές]])
* <math>\sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}</math> (ειδική περίπτωση της παραπάνω όπου ''m'' = 0)
* <math>\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n</math> (βλέπε [[δυωνυμικός συντελεστής]])
Γραμμή 86:
== Ρυθμοί αύξησης ==
Οι ακόλουθες είναι χρήσιμες προσεγγίσεις (χρησιμοποιώντας συμβολισμό theta):
* <math>\sum_{i=1}^n i^c = \Theta(n^{c+1})</math> για [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικό αριθμό]] ''c'' μεγαλύτερο του -1
* <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \Theta(\log n)</math>
* <math>\sum_{i=1}^n c^i = \Theta(c^n)</math> για πραγματικό αριθμό ''c'' μεγαλύτερο του 1
* <math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c = \Theta(n \cdot \log(n)^{c})</math> για [[μη- αρνητικό]] πραγματικό αριθμό ''c''
* <math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d = \Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c})</math> για μη- αρνητικούς παραγματικούςπραγματικούς αριθμούς ''c'', ''d''
* <math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \cdot b^i = \Theta (n^d \cdot \log(n)^c \cdot b^n)</math> για μη- αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς ''b'' > 1, ''c'', ''d''
 
 
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Άθροιση"