Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Εξίσωση Σρέντινγκερ»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
:<math>\Psi(\bold{r},t)=ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}+be^{-i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar} \ ,</math>
 
όπου '''p''' θα είναι η [[Ορμή|ορμή]] του σωματιδίου, '''Ε''' η [[Ενέργεια|ενέργειά]] του και '''a''', '''b''' τα πλάτη που εν γένει θα είναι [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικοί αριθμοί]], αφού δεν γνωρίζουμε αν τοη '''Ψ''' είναι μετρήσιμο μέγεθος ή όχι. Επίσης τώρα η '''Ψ''' έχει [[Μονόμετρο μέγεθος|βαθμωτό]] και όχι [[Διάνυσμα|διανυσματικό]] χαρακτήρα όπως το ηλεκτρικό πεδίο (αυτή είναι η απλούστερη δυνατή μορφή).
 
Λόγω της κυματικής εξίσωσης, σκεφτόμαστε να [[Παράγωγος|παραγωγίσουμε]] αυτή τη σχέση μία και δύο φορές ως προς τον χρόνο και ως προς την θέση (παραγώγιση ως προς τη θέση σε περίπτωση περισσότερων των μία διαστάσεων σημαίνει να πάρουμε το [[Ανάδελτα|ανάδελτα]] της). Γνωρίζοντας εμείς την εξίσωση Σρέντιγκερ, καταλαβαίνουμε ότι η δεύτερη παραγώγιση ως προς τον χρόνο και η πρώτη παραγώγιση ως προς τη θέση δε μας χρειάζονται, οπότε υπολογίζουμε τις άλλες δύο και έχουμε:
 
== Αναλυτική Επίλυση της εξίσωσης Σρέντιγκερ ==
Η μόνη ουσιαστική μέθοδος για να λύσουμε αναλυτικά μία μερική διαφορική εξίσωση (διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων) όπως είναι η εξίσωση Σρέντιγκερ, είναι η μέθοδος του χωρισμού μεταβλητών. Βάσει της μεθόδου αυτής, αν έχουμε μια συνάρτηση π.χ. δύο μεταβλητών '''u(x,y)''' η οποία ικανοποιεί μια μερική διαφορική εξίσωση της μορφής Lu(x,y)=0 με '''L''' ένα γραμμικό διαφορικό τελεστή που γράφεται ως άθροισμα επιμέρους τελεστών, καθένας εκ των οποίων είναι ένας τελεστής ''μιας'' μόνο από τις τρεις μεταβλητές που υποθέσαμε, τότε μπορούμε να γράψουμε τη ζητούμενη συνάρτηση στη μορφή u(x,y)=X(x)Y(y), όπου Χ και Y δυο συναρτήσεις μιας μόνο μεταβλητής.
 
Το ίδιο μπορούμε να εφαρμόσουμε όσον αφορά την κυματοσυνάρτηση που προκύπτει ως λύση της εξίσωσης Σρέντιγκερ, αν και μόνο αν ο τελεστής
Ανώνυμος χρήστης